C, PHP, VB, .NET

Разглеждах степените на числото 11 и видях, че първите няколко подозрително приличат на редовете на триъгълника на Паскал. Ето за какво говоря:

ред 0: 1 = 11⁰
ред 1: 11 = 11¹
ред 2: 121 = 11²
ред 3: 1331 = 11³
ред 4: 14641 = 11⁴

Естествено, че в началото се зарадвах, а съм сигурен, че и много други хора са се радвали преди мен на същото индукционно предположение, че всеки ред от триъгълника на Паскал е степен на 11. Да, но това очевидно не е така по-нататък, защото 11⁵ е 161051, а 5-ти ред на триъгълника на Паскал е 15101051, т.е. индукционната хипотеза е грешна. Но стойте – нека да не спираме дотук! Оказва се, че все пак има зависимост. Нека разгледаме числата от 5-ти ред подредени, но самостоятелни:

1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1

Ето как може да се получи числото 161051 – ако пренесем единицата от десетиците „надясно“ и я съберем с числото стоящо от ляво:

1 – (5+1) – (0+1) – 0 – 5 – 1 = 161051

Нека проверим дали това работи и по-нататък:

ред 6: 1-6-15-20-15-6-1
=> 1-(6+1)-(5+2)-(0+1)-5-6-1 = 1771561 = 11⁶

ред 7: 1-7-21-35-35-21-7-1
=> 1-(7+2)-(1+3)-(5+3)-(5+2)-1-7-1 = 19487171 = 11⁷

ред 8: 1-8-28-56-70-56-28-8-1
=> 1-(8+2)-(8+5)-(6+7)-(0+5)-(6+2)-8-8-1 = 1-10-13-13-5-8-8-8-1
=> (1+1)-(0+1)-(3+1)-3-5-8-8-8-1 = 214358881 = 11⁸

ред 9: 1-9-36-84-126-126-84-36-9-1
=> 1-(9+3)-(6+8)-(4+12)-(6+12)-(6+8)-(4+3)-6-9-1 = 1-12-14-16-18-14-7-6-9-1
=> (1+1)-(2+1)-(4+1)-(6+1)-(8+1)-4-7-6-9-1 = 2357947691 = 11⁹

Опитно на хартия продължих и по-нататък – индукционната хипотеза се потвърждава. Потърсих в интернет и видях, че не съм единственият, който се е сетил за това (колко странно :) нали?), но не успях да намеря формално доказателство.