C, PHP, VB, .NET

Задача: Нека имаме четири произволни точки в изпъкнала област K. Намерете вероятността те да са върхове на изпъкнал четириъгълник.

Решение (без доказателство): Оказва се, че въпреки, че решенията са инвариантни спрямо големината на областта, все пак според вида на K се получават различни решения. Оригиналното решение на Силвестър от 1865г. е дадено в област триъгълник. Там вероятността се оказва 2/3. По късно Цзубер доказва, че вероятността P получава минимум именно в такава област K (триъгълник). Прочети още…

.

Задача: Избираме четири произволни точки от единичен кръг. Каква е вероятността те да са върхове на изпъкнал четириъгълник?

Решение: Нека точките са A₁, A₂, A₃ и A₄. Линиите A₁A₂, A₂A₃ и A₃A₁ разделят кръга на 7 части, например: Прочети още…

.

Задача: Дадена е окръжност с радиус r и вписан в нея равностранен триъгълник ABC. Каква е вероятността произволна хорда от окръжността PQ да има по-голяма дължина от страната на триъгълник ABC?

Решение 1: Без да ограничаваме решенията “завъртаме” триъгълник ABC така, че т.A да лежи в средата на дъгата PQ. Нека |AR| = 2r e диаметър на окръжността: Прочети още…

.

Задача: В равнината имаме мрежа от еднакви триъгълници с лице F и със страни a, b и c и ъгли α, β и γ. Каква е вероятността отсечка PQ с дължина l, по-малка или равна на най-късата височина на триъгълника, да лежи изцяло в някой триъгълник?

Решение: Нека вземем един от триъгълниците и го означим с ABC. Построяваме координатна система с ос Ox минаваща по отсечката AB. Нека ъгъла, който отсечката PQ сключва с оста Ox е θ. Прочети още…

.

Задача: В равнината е построена мрежа от правоъгълници със страни a и b. Каква е вероятността отсечка с дължина l да пресече страна на някой от правоъгълниците?

Решение: Нека l<a и l<b. Разглеждаме правоъгълник OABC. Произволна отсечка e PQ с дължина l и нейния център е т.K. Избираме координатна система с център т.O и оси OA и OC.

Нека отсечка PQ сключва ъгъл Θ с оста Ox. В правоъгълника OABC вписваме правоъгълник O’A'B’C’ такъв, че:

1. |OO’| = |AA’| = |BB’| = |CC’| = l/2
2. Ъгъл <O’OA = <AA’O = <C’CB = <B’BC = Θ. Прочети още…

.

Задача: “Разграфяваме” равнината с успоредни линии на разстояние “2a” една от друга. Каква е вероятността произволно поставена отсечка с дължина “2l” да пресече някоя линия?

Решение: Взимаме две прави в равнината и на всяка от тях взимаме по две точки – A и B; C и D. Нека краищата на иглата са точките P и Q. Нека К е центъра на PQ и нека точките M и N принадлежат на правите като отсечката MN минава през K и е перпендикулярна на правите. Ще отбележим дължината на отсечката |MK| = x. Прочети още…

.

Задача: Даден е квадрат със страна “a”. Точките M₁ и M₂ са случайни точки вътре в квадрата. Каква е вероятността |M₁M₂|=φ≤h≤a?

Решение: Нека ъгълът между M₁M₂и AB е равен на θ, като 0<θ<π/2 (ако е по-голям от π/2, то ще изберем другата страна на квадрата). Правим транслация на квадрата по направление вектора M₁M₂ (т.е. след транслацията M₁ се изобразява в M₂). Както в миналата задача M₂ трябва да принадлежи на общата част на двата квадрата. Прочети още…

.

Задача: Нека имаме кръг k с радиус R и две точки M₁∈k и M₂∈k. Каква е вероятността дължината на отсечката |M₁M₂|≤h<2R?

Решение: Построяваме координатна система с център центъра на кръга. Нека точките M₁ и M2 имат следните координати спрямо нея: M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂). Тогава условията които трябва да удовлетворяват M₁ и M₂ са: Прочети още…

.

Задача: Нека имаме окръжност k с радиус 1 и две точки M₁∈k и M₂∈k. Каква е вероятността дъгата M₁M₂≤α<π?

Решение: Построяваме две точки C и D такива, че дъгите CM₁=α и M₁D=α: Прочети още…

.

Задача: Нека отсечката AB е с дължина l (|AB|=l) и нека точките M₁∈AB и M₂∈AB. Каква е вероятността |M₁M₂| ≤ k.l, където k e произволно число в интервала [0, 1]?

Решение: Нека |AM₁| = x. Взимаме в ляво и в дясно от M₁ точките C и D такива, че |CM₁| = |M₁D| = k.l. Да разгледаме два случая: Прочети още…

.