C, PHP, VB, .NET

Задача: В равнината имаме мрежа от еднакви триъгълници с лице F и със страни a, b и c и ъгли α, β и γ. Каква е вероятността отсечка PQ с дължина l, по-малка или равна на най-късата височина на триъгълника, да лежи изцяло в някой триъгълник?

Решение: Нека вземем един от триъгълниците и го означим с ABC. Построяваме координатна система с ос Ox минаваща по отсечката AB. Нека ъгъла, който отсечката PQ сключва с оста Ox е θ. Прочети още…

.

Задача: В равнината е построена мрежа от правоъгълници със страни a и b. Каква е вероятността отсечка с дължина l да пресече страна на някой от правоъгълниците?

Решение: Нека l<a и l<b. Разглеждаме правоъгълник OABC. Произволна отсечка e PQ с дължина l и нейния център е т.K. Избираме координатна система с център т.O и оси OA и OC.

Нека отсечка PQ сключва ъгъл Θ с оста Ox. В правоъгълника OABC вписваме правоъгълник O’A'B’C’ такъв, че:

1. |OO’| = |AA’| = |BB’| = |CC’| = l/2
2. Ъгъл <O’OA = <AA’O = <C’CB = <B’BC = Θ. Прочети още…

.

Задача: „Разграфяваме“ равнината с успоредни линии на разстояние „2a“ една от друга. Каква е вероятността произволно поставена отсечка с дължина „2l“ да пресече някоя линия?

Решение: Взимаме две прави в равнината и на всяка от тях взимаме по две точки – A и B; C и D. Нека краищата на иглата са точките P и Q. Нека К е центъра на PQ и нека точките M и N принадлежат на правите като отсечката MN минава през K и е перпендикулярна на правите. Ще отбележим дължината на отсечката |MK| = x. Прочети още…

.

Задача: Даден е квадрат със страна „a“. Точките M₁ и M₂ са случайни точки вътре в квадрата. Каква е вероятността |M₁M₂|=φ≤h≤a?

Решение: Нека ъгълът между M₁M₂и AB е равен на θ, като 0<θ<π/2 (ако е по-голям от π/2, то ще изберем другата страна на квадрата). Правим транслация на квадрата по направление вектора M₁M₂ (т.е. след транслацията M₁ се изобразява в M₂). Както в миналата задача M₂ трябва да принадлежи на общата част на двата квадрата. Прочети още…

.

Задача: Нека имаме кръг k с радиус R и две точки M₁∈k и M₂∈k. Каква е вероятността дължината на отсечката |M₁M₂|≤h<2R?

Решение: Построяваме координатна система с център центъра на кръга. Нека точките M₁ и M2 имат следните координати спрямо нея: M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂). Тогава условията които трябва да удовлетворяват M₁ и M₂ са: Прочети още…

.

Задача: Нека имаме окръжност k с радиус 1 и две точки M₁∈k и M₂∈k. Каква е вероятността дъгата M₁M₂≤α<π?

Решение: Построяваме две точки C и D такива, че дъгите CM₁=α и M₁D=α: Прочети още…

.

Задача: Нека отсечката AB е с дължина l (|AB|=l) и нека точките M₁∈AB и M₂∈AB. Каква е вероятността |M₁M₂| ≤ k.l, където k e произволно число в интервала [0, 1]?

Решение: Нека |AM₁| = x. Взимаме в ляво и в дясно от M₁ точките C и D такива, че |CM₁| = |M₁D| = k.l. Да разгледаме два случая: Прочети още…

.

Теория на вероятностите е една позната за математиците дисциплина. Рядко обаче те се сблъскват с т.нар. „геометрични вероятности“. Това са задачи, които използват апарата на теория на вероятностите върху задачи от геометрията. Например:

Задача: Нека AB е отсечка и т.M∈AB. Нека отсечката PQ∈AB. Каква е вероятността т.M∈PQ да е вярно? Прочети още…

.