Мотивиране на студенти от хуманитарните дисциплини
да разберат математическите концепции чрез цитати

н.с. ІІІ ст. Йорданка Горчева

6-та средиземноморска конференция за обучение по математика
стр. 419 – 428

Ще дискутираме различни аспекти на използването на математически цитати в клас пред студенти по хуманитарни дисциплини: исторически, философски, логически, естетически, психологически, педагогически и междупредметни.

1. Въведение

Даването на ефективни математически инструкции на студенти, които са насочени повече към хуманитарни науки е доста предизвикателно за учителите. То не зависи само от възможностите на учениците да покрият материала. Психологическите фактори са лични чувства за математиката, които те носят от ученическите си години може да затруднят значително тяхното обучение по математика в университета.

Хуманистичният подход на обучение по математика включва правилен избор на методи за предаване на учебната програма, които да бъдат приспособени за аудиторията. Сред инструментите, които имат потенциал да показват математически идеи в ясен и кратък подход без формули са математическите цитати. Яркостта и въображението на ума ги правят специален раздел, който е добре приет както от професионални математици, така и от хора без математически опит. Заедно с нестандартната интерпретация на математически концепции и тяхната приложимост в ситуации от реалния живот, подобни цитати често показват светлина от ситуации от реалния живот върху математиката.

2. Цитатите в обучението по математика

Знанието в математическите цитати прави математическите концепции по-разбираеми и по-впечатляващи за студентите. Те могат да бъдат използвани успешно като съвременно средство за изграждане на математическо мислене. Математическите цитати правят дисциплината по-популярна, по-приятна и по-близка до студентите, както и да им дадат увереност, че сами могат да се справят с програмата. Флерон (1998) докладва, че е въвел цитати в ежедневното обучение като започвал всяка една лекция с „цитат на деня” написван на дъската предварително. Той забелязал, че тази практика била приета добре от студентите и те говорили за цитатите дори преди започването на часовете.

Аз също използвам цитати за математиката в учебните часове когато обучавам студенти от хуманитарни дисциплини, но в различна форма. На мен ми се струва много по-логично да използвам цитатите свързани с конкретна тема и да ги показвам на аудиторията си чрез презентации на PowerPoint. Темата, която избрах свързана с числата. Естествено се позволява вмъкване на картинки, звукови ефекти и музика за подсилване на ефекта и да бъде много по-атрактивно за аудиторията. Този подход значително повиши интереса на студентите от хуманитарни специалности към математиката и драстично увеличи мотивацията в клас.

3. Аспекти на обогатяване на знанията на студентите чрез цитати

Моите усилия да илюстрирам много аспекти на математическите концепции чрез математически цитати ме накара да ги организирам по следния начин:

А. Исторически аспекти

„Прогреса на обществото”, подчертава Гроздев (2007), „зависи все повече и повече от модерните постижения на математиката. Проблемът тук е, че усвояването на математически знания е специфичен процес и не трябва да се пренебрегва историята като се стартира образованието с модерна математика и се пропуснат класическите математически резултати”

Примери за използване на математически концепции могат да бъдат намерени в исторически събития и документи – факт, който помага на студентите да осъзнаят силата на математическата литература. В „Декларацията за Независимостта на Съединените Американски Щати” (4 юли 1776) Томъс Джеферсън (1743 – 1826), един от нейните автори, е използвал „Елементи” на Евклид като образец въпреки, че е писана повече от 2000 години преди това. Обръщайки се към същия въпрос на 6ти април 1859г. Ейбрахам Линкълн прави следното изявление:

„Принципите на Джеферсън са дефиниции и аксиоми на свободното общество”

От години за изучаването на математиката е дадена привилегия за свободен човешки дух. Джон Адамс (1787 – 1801), които също е един от основателите на Съединените Американски Щати заедно с Вашингтон и Джеферсън, е оставил на поколенията забележителен цитат:

„Аз трябва да изучавам политика и право, за да могат моите синове да имат свободата да изучават математика и философия!”

Б. Философски аспекти

Мястото на математиката в системите на човешкото знание е широко дискутирано сред математици и философи. В дисертацията на Табов (2004) пише:

„Математиката, с нейната висока степен на абстракция като философия например, не може да се класифицира нито като хуманитарна, нито като научна и така не е резонно да я слагаме по-близо до едното от другото. В този смисъл когато се говори за дупка между математиката и хуманитарните науки трябва да се вземе под внимание, че тази дупка може да се запълни, но за тази нужда са нужни обмислени и практически изпитани методи”

Студентите отговарят на въпроса „Какво е математика?” на базата на техен личен опит. Затова в моята презентация аз пускам и хумористични описания на математиката, защото те засягат много важни математически обекти като числата:

„Ако е зелено е биология, ако мирише е химия, ако са числа е математика, а ако не работи е технология!”
(неизвестен автор)

В. Логически аспект

Може би най-голяма роля на математическите цитати в класната стая е правилното илюстриране на изучените теми. Наред със смешните цитати аз използвам и следния:

„Философията е игра с цели и без правила. Математиката е игра с правила и без цели”
(неизвестен автор)

Това помага на студентите да разбират важността на правилата в математиката. Докато математическите дефиниции могат да бъдат интерпретирани като един вид правил, които определят свойства на математическите обекти, неправилното боравене с дефинициите може да доведе до грешни изводи. За няколко години аз се сблъсках с интересна ситуация докато обучавах студенти по темата за простите числа. Когато бъдат попитани да напишат няколко прости числа, повечето студенти обикновено написват 3, 5, 7, 11, 13, … Понякога те вкарват и числата 1 и 2 в тази поредица. За мен беше предизвикателство да опресня техните знания за това какво са изучавали в училище. По напредналите си спомнят, че числото 2 е единственото четно просто число и, че числото 1 не е просто по дефиниция. Така следващата ми стъпка е да попитам студентите да формулират дефиницията за просто число. Следният отговор се среща най-често:

Дефиниция 1: Числата от множеството N={1, 2, 3, 4, …}, които се делят само на 1 или на себе си се наричат прости числа

За да помогна на аудиторията да поправят грешката самостоятелно записвам тяхната формулировка на дъската и ги карам да проверят дали числото 1 удовлетворява дефиницията. Така студентите се убеждават, че 1 удовлетворява условията на дефиниция 1, т.е. то трябва да е просто. Грешният резултат дава светлина на това какво е пропуснато от тях и те предлагат следното преформулиране:

Дефиниция 2: Числата от множеството N = {1, 2, 3, 4, …}, които имат точно два различни делителя се наричат прости числа

В тази ситуация аз отново карам учениците да използват числото 1 и да пробват примера пак. То всъщност има точно два различни делителя: числата 1 и -1. Така още веднъж се оказа, че числото 1 е просто, а то както знаем не е. Накрая студентите се досещат защо техните дефиниции са грешни и дават дори две правилни формулировки:

Дефиниция 3: Числата от множеството N = {1, 2, 3, 4, …}, които са по-големи от 1 и се делят само на 1 и на себе си се наричат прости числа

Дефиниция 4: Числата от множеството N = {1, 2, 3, 4, …}, които имат точно два различни положителни делителя се наричат прости числа

Г. Естетически аспект

Античният философ Проклус (412 – 485) казва:

„Където има число – има красота”

След като дефиницията на простите числа е изяснена аз показвам на аудиторията един от най-важните резултати от теорията на числата – теоремата за безкрайност на простите числа. Нейното доказателство има различни подходи, които Айгнер и Зиглер (2003) показват още в началото на „Книгата”. Доказателството на Евклид обаче впечатлява студентите със своята гениална простота и те дори коментират, че дори шестокласници биха я разбрали.

Древногръцките математици са били привлечени много от един специален клас числа, които са равни на сумата на техните делители по малки от самите тях. За да им дадат термин те използват още по-силна дума от „красиво” и ги наричат „съвършени”:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Следващото съвършено число е 33 550 336, което показва, че в интервала от 10⁵ до 10⁷ няма други съвършени числа. Този факт кара френският математик Рене Декарт (1596 – 1650) да каже:

„Съвършените числа както съвършените мъже са много редки”

Понеже използвам този цитат в клас, но Декарт не е уточнил какво означава „съвършен мъж”, аз се принуждавам да го изясня чрез друго изказване направено три века по-късно от Съмърсет Маугхам:

„Съвършенството е това, което американските жени очакват да намерят в техните съпрузи… но в Англия жените само се надяват да го намерят в техните прислужници”

Подобна хумористична игра с понятията в математиката и ежедневния живот се разиграва интересна дискусия за това как студентите разбират красотата на математиката. Може страдайки много от скучни математически дейности в училище, студентите посочват като основна характеристика на математическата красота „наличието на идея, която неочаквано „прерязва въжето” на разсъжденията и значително скъсява решението на задачата”.

Д. Задълбочаване на знанията по предмета

Математическите цитати от световно известни школи носят кондензирано експертно знание и често дава необичайни перспективи на математически идеи. Важно свойство на безкрайното множество N на всички естествени числа (както и множеството Q на рационалните числа) е неговата изброимост, в контраст с неизброимото множество R на всички реални числа. Чрез множество от подмножества на N, Георг Кантор (1845 – 1918) между тези два различни типа безкрайност: ако броят на елементите в множеството N се запише като A и броят на елементите в множеството R се запише като B, то може да се запише, че A<B. Така в света на трансфинитните числа съществува подобна наредба A<B<C<… без трансфинитни „дупки” помежду им, както е при естествените числа 1<2<3<… където няма свободни „места за цели числа” между елементите.

Идеята на Кантор предизвика интерес в аудиторията и през идните часове бях помолена да бъдат дискутирани отново. Някои от студентите дори доведоха приятели, които не бяха записани в класа, за да слушат за йерархията на безкрайностите. Техният интерес ме вдъхнови за да цитирам изключителния австрийски психолог и философ Ернст Мах (1838 – 1916), който последва Кантор:

„Математиката може да се разгледа като икономия на броенето. Няма задача в математиката като цяло, която не може да се реши чрез директно броене”

В моите лекции студентите се впечатлиха от различните свойства на двата класа реални числа (рационалните и ирационалните). След като разбраха, че ирационалните числа се разделят на два класа – алгебрични и трансцедентни, те много адмирираха метафората на журналиста Ричард Престън (1992):

“Няма крайно алгебрично уравнение изградено от цели числа, което да даде точната стойност на Пи. Ако уравненията са влакове вървящи по повърхността на тези числа, то нито един влак няма да спре върху Пи”

Е. Психологически и педагогически аспекти

Може би във всеки математически клас има студенти, които не са разбрали всичко, което е казано. Дори обучавана вкъщи, дамата на криминалния жанр Агата Кристи (1890 – 1976) се почувствала толкова отегчена от нейните всекидневни математически упражнения, че в нейната автобиография тя пише:

„Аз продължавах да решавам аритметика с моя баща, преминавайки гордо през дроби и десетични дроби. Аз евентуално достигнах до мястото където много крави изядоха толкова много трева и варели се напълниха с вода за толкова много часа, че аз го намерих дори за увлекателно”

Обратната връзка със студентите също така може да помогне да се изясни дали има проблеми с учебната програма, неудоволствие от метода на преподаване или страх от математиката. Те показват на преподавателите как учебния процес може да бъде подобрен. Във връзка с това как учебното съдържание по математика се излага пред студентите, американският професор Стан Гуддър препоръчва:

„Същността на математиката не е да направи простите неща сложни, а да направи сложните неща прости”

С още по-артистична гледна точка поетът Дороти Паркър съветва:

„Лекарството за скуката е любопитството. За любопитството няма лекарство”

В по-широк смисъл „лекарството” може да бъде интересна тема, групова работа, запитване базирано на дейностите, неочаквани методи на обучение и др.

Няма много математически книги, които дават на учениците да четат инструкция като следната:

„Ако не успеете да разберете написаното в параграфа, дори след три четения, най-вероятно вашият мозък е започнал да се уморява. В такъв случай оставете книгата настрана и се занимайте с други неща. Следващия ден като се върнете свежи, вие най-вероятно ще намерите написаното за доста лесно”

Това е дадено от математика Луис Карол (1832 – 1898), авторът на „Алиса в страната на чудесата” в книгата си „Логика на символиката”.

Ж. Проблеми с пола

В моите класове нито жените, нито момчетата изпитват проблеми при задаването на въпроси, да изразяват мнения, да направят консултации за допълнителна работа или да постигнат добър резултат. Примерите с жени с изключителни постижения в математиката целят да покажат, че математическите постижения нямат пол. Така, че моята цел да използвам цитати свързани с държанието на жени в математическа обстановка е, за да подобри атмосферата в класната стая. Освен това искам да дам на студентите идеята, че ние говорим за жените в математиката, защото в нея има също и мъже. Ето мнението на тоположката Мери Елън Рудин, която също е прекрасен учител и майка на четири деца, на тема защо жените математици в академичните среди продължават да не се представят:

„Математиката определено е нещо, с което жените биха се справили много добре. Тя е много интуитивна. Не ви трябват много машини и не ви трябва  много физическа сила. Затова защо не стават много жени математици? Аз мисля, че в това има причина, може би социална, че момичетата отказват да погледнат – те просто не желаят да опитат нещо, което те виждат като труден проблем в математиката. Момчетата от своя страна са склонни и жадни да се борят с трудни проблеми”

Френският журналист Марсе лАрхард (1899 – 1974) също няма съмнение, че жените имат неоткрита сръчност в математиката. Позволих си да добавя фраза до неговият цитат, пълен с приятелски хумор, за да съдържа и четирите аритметични операции:

„Жените имат страст за математиката. Те делят техните години наполовина, удвояват цената на техните дрехи”, изваждат нещо от тяхното тегло „и винаги добавят поне пет години към възрастта на тяхната най-добра приятелка”

З. Междупредметни връзки

Процесът на мотивиране на студенти от хуманитарни науки да изучават математика е по-ефективен, когато се говори за връзките между математиката и другите дисциплини. Например архитектите Ешер, Фулър и Рубик дължат своята свобода и креативност в тримерното пространство до голяма степен именно заради тяхното разбиране на математика. Обратно – тяхната работа също е източник на вдъхновение за по-нататъшно развитие на математиката.

Съвременник на Лобачевски (1792 – 1856), превъзходният руски поет Александър Пушкин (1799 – 1837) е изключително вдъхновен от духа на епохата, когато неевклидовата геометрия се родила. Ето и част от това, което е написал Пушкин:

„Вдъхновението е нужно в геометрията точно толкова, колкото и в поезията”

Древният математик Питагор също е добре известен с неговата музикална скала. По начин достъпен за ученици, Келеведжиев и Дженкова (2007) обясняват математическите концепции зад структурата на скалата на Питагор. Авторите правят музикални аналогии на много популярни математически понятия и обекти, като например „Златна среда” и „Числа на Фибоначи” и показват много примери.

Лайбниц (1646 – 1716) също отбелязва връзка между музиката и математиката:

„Музиката е удоволствието на човешката душа да брои без да знае, че брои”

Мейсън Куули (1927 – 2002), преподавател по английски език и литература, е показал удивителен паралел:

„Математиката – тиха хармония. Музиката – звучащи числа”

Такива цитати могат решително да променят „гастрономската” идея за дробите като нарязана пица, както се дават тривиални примери в училище.

Забавен начин да покажа на студентите, че математиката не е само дисциплина за изучаване, но също и начин на мислене, е примерът с един специален вид прости числа, които се дават със следната дефиниция:

Дефиниция: Две прости числа образуват „секси двойка”, ако абсолютната стойност на тяхната разлика е равна на 6

Следвайки тази дефиниция студентите намират „секси двойки”: 5 и 11, 7 и 13, 11 и 17, 17 и 23, 31 и 37, и т.н. След това те започват да си мислят „защо тези двойки се наричат секси”. Отговорът идва от това, че дефиницията се базира на лингвистична ситуация: „sex” е латинската дума за „шест”. За да не оставим лингвистичната идея изолирана казвам на студентите и следната шега: „Римляните не са намирали алгебрата за много трудна, защото за тях X винаги е било 10”.

Дискутирайки връзките между математиката и лингвистиката, аз показвам на класа интересната история на Жосия Уиллиард Гиббс (1839 – 1903) – един от най-великите американски учени. Фокусиран в неговото изследване, той рядко давал изявления. Участвайки обаче в комитет, чиято цел била да подобри американското обучение чрез отрязване на часове от математиката и давайки ги на изучаването на чужди езици, той не можел да остане безгласен. Ето историческата реч на Гиббс:

„Математиката Е език”

Темата за числата също ми дава възможности да кажа също неща и за езика на математиката. Като размерности на дадено множество, наречени фрактали, неотрицателните числа отварят цяло ново поле от приложения: фрактална геометрия. Когато попитах студентите дали са чували думата „фрактали”, един от тях отговори: „Да, това са вид гущери, нали се сещате?”. Съгласих се с него и показах картинка с подобно създание.

После обаче показах друга картинка, след която студентите единодушно казаха: „О, това е изкувство!”.

В такава ситуация едва ли има нещо по-подходящо от думите на Беноа Манделброт (1977), основателя на фракталната геометрия:

„Като език математиката може да бъде използвана не само за да информира, а също заедно с други неща да прелъстява…”

4. Последствията от използването на математически цитати в моите класове

Психологът Барху сСкинър (1904 – 1990) казва: „Образованието е това, което оцелява след като изученото бъде забравено”. Признанието, което получавам от аудиторията незабавно след презентацията не е само чрез аплодисменти. Много от студентите ми казват колко много са благодарни за времето и усилията които съм инвестирала в намирането на подходящи цитати и сглабянето им в едно цяло. Два месеца по-късно един от студентите показа в стил презентация за математиката и музиката. След една година вече бивш мой студент ми изпрати e-mail с Power Point презентация свързана с бизнес. Там тя беше използвала математически концепции и цитати за структуриране на идеите и привличане на вниманието на аудиторията. Така класът по техен собствен начин ми показа, че те са разбрали моето съобщение чрез цитат към тях:

„Математиката не е спорт за зрители”
(неизвестен автор)

За тези студенти математиката стана език за комуникация. Те използваха източниците, които бях препоръчала – най-вече уеб сайтовете на Furman University и Westfield State College, както и книгите на Димовски (1972), Гайтер и Кавазос-Гайтер (1998) и други.

5. Цитати за цитатите: заключителни пояснения

Когато вземете книгите на Луис Карол има един цитат. Следният диалог от новелата „Силви и Бруно” (2002) е кратка математическа история за стойността и живота на цитатите:

-          Кой е най-големият източник на наука, как мислиш – книгите или умовете?

-          Ако имаш в предвид живите умове, то не е сигурно, че е възможно да се прецени. Има толкова много писана наука, че никой жив човек не може да прочете, но има и много изречена наука, която все още не е написана. А ако имаш в предвид човечеството като цяло, то умовете побеждават: всичко записано в книги трябва поне веднъж да е било в нечий ум!

-          Това не е ли както едното правило в алгебрата? Имам в предвид ако приемем умовете като параметри, не можем ли да кажем, че най-малкото общо кратно на всички умове съдържа тези книги, но не и обратното?

-          Определено можем, но само ако успеем да приложим това правило на книгите! В намирането на най-малкото общо кратно ние изхвърляме количество когато се появи, с изключение на случая когато е повдигнато на най-високата си степен. Така, че трябва да заличим всяка записана мисъл, с изключение на изреченията които са записани с най-голям интензитет.

Именно този интензитет на мислите е това, което се опитвам да засиля в моите студенти по хуманитарни науки чрез математически цитати. Моето намерение е да им покажа съкровището на концепциите и красотата, които да разширят техния хоризонт на мислене. Надявам се, че в бъдеще те ще търсят различни уеб сайтове с математически цитати, които се появяват в интернет. Тази тенденция в интернет е доказателство, че модерния свят се нуждае от скъпоценните камъни на красивите умове, които са се появявали през годините.

За използването на динамичен софтуер за геометрия
с цел обхващане на подобията на триъгълници

Евгениос Авгеринос и Андреас Маринос

6-та средиземноморска конференция за обучение по математика
стр. 192 – 200

В настоящата статия ние правим сравнение между обучението за подобие на триъгълници с компютърен софтуер (Geometer’s Sketchpad) и обучението по същия предмет по класически начин. Изследването е проведено върху ученици от трета година в гимназия /бел. ред. отговаря на български 9ти клас/. Последвано е от оценка на нивото на запомняне на елементи, които са им казани и резултатите са сравнени. Вижда се значително подобрение на учениците, които са обучавани чрез компютърен софтуер.

1. Въведение

Технологията може да даде механизми за подкрепа на учителите по математика, като се използва за реформиране на обучението по математика в клас. Технологията помага за извършването на реформа в обучението по математика, но самата тя не е реформа (cf. Kaput 1992).

Свойствата на технологията, независимо дали специфична за математика или по-обща, трябва да бъде въвеждана и илюстрирана в контекста на смислени дейности свързани със съдържанието. Обучението в използването на технологии или компютърни умения и последващ опит за намиране на математически теми, в които те биха могли да се използват е сравнимо с преподаването на множество процедурни математически умения и чак тогава последващо даване на тяхни реални приложения, които могат да се решат с този математически апарат. Такъв подход може да скрие смисъла от изучаване и използване на технологията, да направи математиката като второстепенно допълнение и да доведе до изкувствени дейности. Използването на технологии в обучението по математика не е с цел да се преподава технологията, а с цел да се подобри преподаването на математика и ученето с помощта на технологията (Гарофало, Дриер, Харпър и Тимерман 2000). В ранна фаза от нашата работа ние разделяме множеството от насоки, за да оформим нашата разработка на математически дейности и материали (Гарофало, Шокей, Харпър и Дриер 1999). Петте насоки изброени по-долу показват какво вярваме, че е правилното използване на технологията в преподаването по математика:

• Въвеждането на технологията като контекст;
• Разглеждане на местата където си заслужава да се използва с подходяща педагогика;
• Взимане на предимство чрез технологията;
• Свързване на математически теми;
• Включване на различни видове представяния на материала.

Много често ние следваме тази концепция в ежедневния живот. Ние я използваме в редица практически проблеми, като например измерване на разстояния до точки до които нямаме достъп или в изображението на форми в перспектива което е използвано от дизайнери и художници, за да рисуват обекти от тримерното пространство на двумерни повърхности. Концепцията за сходствата основава част от науката математика и в частност геометрията и е доказана поне от гледна точка на училищната аналитична програма в гимназиалния етап на обучение и в лицеите. Нейното разбиране за последователност са от особен интерес за нас. Учениците срещат затруднения, които са трайни и дори са налични и в завършващите лицеи (Тсиакана 2006). Много от проблемите на разбирането на концепцията на подобните триъгълници съществуват във всички етапи на образованието. Тези трудности са налични поради факта, че концепцията за подобие е комплексна, понеже е тясно свързана с важността на пропорциите. В този проект е направен план на образователни дейности за обучение свързано с подобие на триъгълници с образователен софтуер за динамична геометрия за целева група ученици от трети гимназиален клас. Целта е да се даде на учениците възможност да изучават и разбират концепцията на подобията по енергичен и качествен път, да бъдат въвлечени в научно изследване, което подобрява тяхното критично мислене и създаване на способности за поемане на инициативата. Всяко от тези направления е дискутирано по-долу и илюстрирано с една или повече от нашите дейности. Колкото до подобието на триъгълници – два триъгълника са подобни когато имат два по два равни ъгъла или имат пропорционални страни.

Преценете предварително – ще подобри ли Geometer’s Sketchpad запомнянето на концепцията за подобие на триъгълници?

2. Теоретична рамка

Теоретичната рамка, която насочва нашето изследване е базирана на конструктивна перспектива в която обучението е разгледано като процес на изпитване на несъответствия и работа за решаването на смущенията като се използват подходящи обяснения (фон Гласерсфелд, 1987; Боуърс и Доер 2001). Както Щефе и Томпсън (2000) наскоро казаха, Пиаже твърди, че има четири фактора, които допринасят за едно познавателно развитие. Те включват социални връзки, съзряване, психически опит и саморегулация. „Индивидите създават равновесие между персонални схеми на действие и очакване като учавстват във взаимна адаптация и при затруднение от локални ограничения наложени от възможности за приспособяване на тези схеми” (Щефе и Томпсън 2000, Боуърс и Доер 2001). Критичен елемент от този общ модел е това учениците са представени като мотивирани към познание индивиди които непрекъснато взаимодействат един с друг и с тяхната среда (която включва компютъра и спохождащите го дейности) и приемащи тяхна собствена гледна точка по преме на процеса на интерактивно приспособяване. Ние взимаме много сериозно препоръката на Щефе и Томпсън, че „изследователите не трябва да прилагат стандартни модели като тези на фон Грасерфелд или на Виготски директно в практиката на обучението по математика”. Всъщност ние разглеждаме този модел като основен път за това как участниците в изследването приспособяват техния текущ модел за усвояване на математиката с предишните затруднения, които са изпитали по време на техните дейности. За да създадем път на нашите участници за адаптиране на тяхното разбиране към математиката и техните виждания за ефективна педагогика, ние разработихме дейности, които са свързани с обучението по математика по начини, които подкрепят по добро запомняне.

Една добре проектирана софтуерна програма, която се използва чрез насоките на учител, позволява на учениците да пробват и изследват концепциите, затова тяхното разбиране се развива като продължителен и динамичен процес на наблюдение, рефлексия и експеримент. Обектите, които са показани на екрана могат да бъдат символи за честа дискусия между учителя и учениците (Национален Съвет на Учителите по Математика 2000).

Още повече компютърът в математиката може да окуражи хипотези, оправдания и обобщения и да позволи прецизни анализи на елементи, изчисления и изследвания на множество различни типове от културни инструменти, което не само засилва, но и реорганизира познавателния процес чрез тяхната интеграция в социалната практика (Тамис 2005).

Преди да започне урока учителят стои лице в лице с учениците и ги разглежда като елементи, които трябва да адаптира за неговото обучение. Други елементи, които трябва да отчете са класната стая, проблеми в комуникацията които може да бъдат в класната стая или на мястото където се преподава, нуждата от контрол над обучението и компютрите, които ще бъдат използвани.  Освен това има и елементи, които учениците трябва да направят самостоятелно, но в които може да се наложи на учителя да помага. Това може да е например сблъскване с негативно отношение към технологията. Естествено може и да се окаже, че по този начин ще бъдат подтикнати да учат самостоятелно (Hall et. al. 1977).

3. Методи

Класирахме 34 ученици за учавстване в изследването. Те бяха разделени на две групи – експериментална и контролна. Всяка група съдържаше по 17 ученика. Експерименталната група използваше софтуера Geometers Sketchpad, а контролната група беше подложена на класически методи на обучение. Важно беше групите да са с равни способности от гледна точка на предварителните знания. Поради тази причина учителя по геометрия извърши предварително оценяване. Трябва да споменем също, че нито един ученик не беше учен преди това върху подобности на триъгълници.

При експерименталната група учителя процедираше по следния начин:

A. Равни два по два ъгъла водят до подобие на триъгълници

Учител: Създайте триъгълник BCD.

Ученици: Как?

Учител: Изберете… /учителят обяснява някои основи за работата със софтуера и показва на учениците как да създадат два подобни триъгълника BCD и B’C’D’/

Действие на учениците: Следват насоките на учителя.

Учител: Какво можете да кажете за тези два триъгълника?

Ученици: Те си приличат и са означени по подобен начин.

Учител: Много добре. Нека да видим дали ъглите на тези триъгълници са равни…

Ученици: Ще трябва да ги измерим!

Учител: /обяснява на учениците как да измерят ъглите и същевременно обобщава новите знания/

Действие на учениците: Прилагат насоките на учителя и лесно се убеждават, че ако ъглите са равни, то триъгълниците са подобни.

Б. Равни пропорции в съответни страни водят до подобни триъгълници

Учител: Измерете отсечките BC и B’C’. Какво е отношението на дължините им? За да измерим отношението на дължините директно ги маркираме едновременно и избираме “Ratio” от менюто “Measurement”.

Учител: Повторете последната стъпка но със страните CD и C’D’, а после и с DB и D’B’.

Действие на учениците: Изпълняват действията, за които ги напътсва учителя, но този път самостоятелно.

Учител: Какво можете да заключите след измерванията?

Учениците: Отношенията са равни!

Учител: Сега разместете върховете на триъгълник BCD и повторете измерванията. После обяснете какво наблюдавате за тези отношения между страните.

След като учениците се убедят, че при подобни триъгълници отношенията на страните са равни трябва да направим и изследване на отношението между лицата на триъгълниците.

Учител: /обяснява как със софтуера може да се изчисли лице на фигура/

4. Оценка

След три часа двете групи биват оценени в въпроси сходни на изказаните по-горе. Резултатите са следните:

-          Успяват да разпознаят подобие на триъгълник по пропорционални страни: контролна група 14, експериментална група 17;

-          Успяват да разпознаят подобие на триъгълник по равенство на всички ъгли: контролна група 4, експериментална група 14;

-          Две пропорционални страни и равни ъгли дават подобие на триъгълник: контролна група 3, експериментална група 12;

-          Допълнителна задача за пропорции на лица и периметри при подобни триъгълници: контролна група 1, експериментална група 6.

Корелационният фактор който съществува между класическия начин на обучение и обучение с новите технологии от показания експеримент е 0.84.

5. Заключение

Трябва да осигуряваме на учителите по-разширени възможности за опит в преподаване на математика в среди подкрепени от разнообразни технологии (Драйфус и Ейнсберг 1990). Сърцевината на този подход е в разбирането на математиката и в удоволствието от нея. Нашият интерес е насочен в даването на възможност на учителите да използват технологии в изучаването на математиката, решаване на задачи с отворен отговор, интерпретиране на математиката, създаване на разбиране и комуникация за математика (Брансфорд 1996, 1992).

Ние като математици и преподаватели трябва да направим най-добрата употреба на множество представяния, дори такива подкрепени от използването на технологии, да насърчим и помогнем на нашите ученици да използват множество подходи към математическите задачи и да ги въвлечем в креативно мислене. Най-важният аспект от Geometers Sketchpad е възможността да се използва директно ръководене на математически обекти и форми и да се редактират геометрични понятия в тяхната цялост от различни гледни точки. Педагогическият подход към софтуера подкрепя мнението, че обучението предразполага активно участие на ученици в социална среда в рамките на класа, която фундаментално съвместява учителя, ученика и връзките между учениците с дадените инструменти. Това предполага, че обучителната среда е богата на възможности за изследвания, анализ и композиция, разбиране на концепциите вътре в организацията на интелектуалната структура и активно участие на учениците с предложените инструменти за обучение.

6. Използвана литература

Бауърс и Доер – „Анализ на двойната роля на бъдещите учители в разбирането на математиката: извличане на растеж с технологията”, Списание за обучение по математика 4, Холандия;

Брасфорд, Зек, Шварц, Барън, Вай – „Насърчаване на математическото мислене в учениците: уроци от практиката”, Природата на математическото мислене (1996);

Драйфус и Айнсберг – „Трудностите при диаграмите: теоретични проблеми”, 14та годишна конференция на международната група по психология на математиката 1990.

Гарофало, Дриер, Харпър и Тимерман – „Представяне на подходяща технология в подготовката на учители по математика част 1”, CITE 2000;

Гарофало, Шокей, Харпър и Дриер – „Използване на подходяща технология в обучението по математика”, Учител по математика Вирджиния, 1999;

Голденберг – „Математически, технически и педагогически предизвикателства в обучението чрез графични интерпретации”, Списание за математическо поведение 1988;

Хол, Бейли и Тилман – „Може ли илюстрации на студент да струват десет хиляди думи”, Списание за обучителна психология 1997;

Лайнхард, Заславски и Стейн – „Функции, графи и графики: Задачи, учене и обучение”, Преглед на образователните изследвания 1990;

Национален съвет на учителите по математика – „Принципи и стандарти за училищната математика”, Рестън, САЩ;

… и други

За два фундаментални подхода към развитието на
научно познание и тяхната употреба в дидактиката по математика

проф. Иван Ганчев и проф. Сава Гроздев

6-та средиземноморска конференция за обучение по математика
стр. 17 – 27

Това проучване засяга появата и прогреса на два фундаментални подхода към развитието на научно познание. Според авторите всеки един от тях представя една комплексна формация на три по-прости подхода, които по-късно се оказват изисквания. Според терминологията, с уважение към функциите на тези формации в научни и познавателни дейности, авторите използват следните имена за компонентите и за двата подхода: „елемент”, „повторение”, „зависимост” и респективно „разбиране”, „убеждение”, „икономичност”. Двата подхода ще бъдат наречени „триади”. Настоящата статия представя изучаване на аргументи за тезата, че втората триада дава начало на три изисквания, които се трансформират в норми за структуриране и представяне на математически знания още от времената на Древна Гърция. Изискванията са следните: да се дефинират понятия само на базата на първични или преди това дефинирани понятия; да се доказват твърдения като се използват аксиоми или вече доказани твърдения; да се използват вече доказани твърдения като теореми без да бъдат доказвани всеки път. Това изследване аргументира още тезата, че двете триади са изключително важни в обучението по математика за формиране на дедуктивно и евристично мислене. В допълнение в последните години двата фундаментални подхода-триади са използвани все по-съзнателно в научните и познавателните дейности в дидактиката по математика.

1. Една идея от развитието на геометрията в пред-гръцкия и първите векове на древногръцкия период

Много често се използва общ подход на различни нива при развитието на научно познание. Това може да се забележи най-лесно от историята на развитието на геометрията от пред-гръцкия и първите векове на древногръцкия период. На първо място се изучават „цели” обекти и се показват свойства на техни елементи. Базирайки се на такива свойства се забелязват и подобия между някои от разглежданите обекти. Това всъщност е и споменатото „повторение” на тип (форма). Така на даден тип се дава общо име: „лежащо поле”, „право поле”, „чело на бик”, „пирамида” (всъщност идващи от древен Египет), „кошница”, и т.н. По този начин двете формации започват чрез компонетните „елемент” и „повторение”. От тук започват да се правят и абстракции на реални обекти чрез стандартни геометрични фигури. Също така се забелязва, че някои от откритите свойства на обектите са свързани помежду си. Например ако срещуположните страни на лежащо поле не се приближават една към друга или не се раздалечават, то те са равни. Ако в допълнение на това срещуположните ъгли могат да се свържат с равни по дължина пръчки, тогава се получава право поле. При изследването на подобни връзки добавят още една компонента освен „елемент” и „повторение”, а именно „зависимост”. Всичко това формира триадата „елементи, повторение и зависимост”. По-късно когато се изучават отделни елементи на цели обекти този цикъл се повтаря на ново ниво. Използвайки езика хората се насочват към следните две дейности:

a) Описание на цели фигури като съставени от някои елементи, водят до създаване на дефиниции;

b) Формулиране на твърдения за връзките между елементите във фигури или връзки между елементите на различни фигури водят до създаване на теореми.

Най-общ разглеждан подход и описаните базови дейности могат да бъдат видяни в развитието на науките за езика, химията, анатомията и др. Разбира се това първо се случва в науката за езика в която се обръща внимание на отделни думи, което в резултат дава писането на йероглифи. По-късно се забелязва, че различните думи имат връзка помежду си защото се произнасят с едни и същи звуци, които се повтарят в различни комбинации. В химията е забелязано, че различни субстанции са съставени от повтарящи се елементи, броят на които се е увеличавал стъпка по стъпка докато достигат повече от 100.

Не е трудно да заключим, че триадата „елементнти, повторение и зависимост” осигурява лесно разбиране на обектите, понеже научно-познавателните методи „анализ”, „абстракция” и „синтез” се прилагат систематично в нея. Това, което се получава при анализа е разделение на един обект на много части (елементи), като всяка една от тях се разглежда поотделно. После те се синтезират обратно в първоначалния обект. Така обектът се изучава по-добре при конкретни приложения или за намирането на самия него като част (елемент) от по-комплексни обекти. Този подход е ефективен не само в изследването на нови обекти, но и в обучението (учене с помощ). Във вторият случай се разглежда нуждата от осигуряване на „разбиране на това което се обяснява и убеждение в неговата правота”.

2. Езикът като средство в познавателната дейност

В познавателната дейност – индивидуална или чрез обучение – човечеството е създало и използвало друго много мощно средство, а именно езика. Ролята на езикът е от една страна да фиксира знанията и от друга да прехвърля знания от един на друг индивид. Ние се интересуваме от втората част, понеже тя е свързана с обучението. Оказва се, че са се наложили два основни подхода:

a) Посочване на обект, който ще се изследва и директно съобщаване на неговото наименование, което е прието от предишните поколения;

b) Устно описание на обекта и директно съобщаване на неговото наименование, което е прието от предишните поколения.

Първият подход е познат като „остенсивен” и е използван от най-древни времена.

Ежедневието е научило хората, че успешна дейност във втория подход съществува само тогава, когато за описанието се използват от преди това познати думи. В този случай може да се получи психическото състояние, в което обучавания човек може да се оцени с фразата „аз разбрах”. Това е повтаряно милиони пъти когато децата се обучават на майчиния си език от опитни хора. Наскоро беше направено изследване от руската научна изследователка Котова, която преподава български език в Московски Университет. Професор Котова направила експеримент с обитатели на село край София. Тя избрала специални думи и попитала селяните как ще ги обяснят. Тя подбрала две групи от думи. Първата съдържала имената на обекти или дейности, които са налични и могат да се посочат на момента. При всички такива думи селяните директно посочвали обекта и назовавали името му. Например при въпроса „какво е кучешки зъб” се реагирало директно с отваряне на устата и посочване на зъба в нея. Втората група въпроси съдържала обекти, които не могат да се посочат на момента. Реакцията при такива въпроси била да бъдат описвани обектите чрез думи, които се предполага, че са вече познати за човека, който задава въпроса. Абсолютно аналогично селяните реагирали и на въпроси за абстрактни обекти. Заключенията от този експеримент са много важни за дидактиката.

3. Триадата „разбиране, убеждение и икономичност” като главен подход формиран в Древна Гърция.

Дори Аристотел е обръщал внимание на нуждата от обяснение на неща чрез други вече изучени. Давайки задължителните изисквания за дефинициите той е казал: „Дефиницията се въвежда за даване на знание за нещо, което се изучава и ние трябва да го знаем не чрез първото срещнато нещо, а чрез предшно и най-известно такова”. Заключението е, че Аристотел е знаел за изискванията за дефинициите, за да може да бъде приложено ефективно обучение и разбиране.

Стъпка по стъпка хората, които се занимават с математика са забелязали, че много математически обекти се дефинират по един и същи начин и се различават само по някои техни свойства. Затова те започнали да използват тези свойства в съответните описания. Допълнителните свойства се описвали чрез твърдения, чиято вярност е била обект на логическа обосновка по дадени правила. Така през 5ти век преди Христа се появяват теоремите и техните доказателства. Тук също обосновката е обект на изискването да бъдат използвани само преди това дефинирани думи и да се използват само преди това доказателства. Именно така се достига до „разбиране”. В глава 2 на „Втори Анализ” Аристотел пише: „За да бъде истинно едно знание което се доказва, доказателството също трябва да идва от истини: основни, директни, по-известни и предишни знания”. По-нататък той продължава: „По този път ако ние имаме заключение базирано на основно знание и сме приели това знание за истина, тогава ние знаем много повече за първичното знание и го приемаме за повече вярно от фактическото заключение”.

Изискванията за дефинициите и доказателствата са изказани от Аристотел не за математиката в частност, а общо за научното познание. Евклид ги е приел като идеал и начин за структуриране на математически знания. От тогава изискванията са станали задължителни за всички математици. Например през 17ти век Блез Паскал казва: „Реален метод се състои от два основни принципа: първият е да не използваме нови понятия преди да сме ги обаснили добре, а вторият е да не прилагаме твърдения преди да сме ги доказали с преди това доказани истини”. След като бъдат доказани веднъж твърденията се използват наготово по същия начин по който дърводелец използва повторно един и същи инструмент, който е създал. По този начин математиците подобно на дърводелеца „икономисват” труд, сили и време.

От казаното по-горе може да се види, че още от периода на Древна Гърция се заформят три идеала за човешки дейности и са въведени по естествен път в математиката, а именно „разбирането”, „убеждението” и „икономичността”. Мотивът да се осигури разбиране дава начало на изискванията за дефиниране чрез вече дефинирани понятия. Мотивът да се осигури убеждение дава начало на изискването да се доказва чрез вече преди това доказани твърдения. Мотивът за икономичност на труд, сили и време дава начало на идеята да се използват теоремите наготово без нужда от доказателство всеки път, когато биват използвани. Така освен триадата „елементи, повторение и зависимост” в Древна Гърция се появява нова, втора триада на „разбиране, убеждение и икономичност”. Сравнявайки пред-гръцкия период на математиката и древногръцкия можем да заключим, че втората триада се появява в Древна Гърция. Във връзка с елемента „убеждение” забелязваме, че следното твърдение е било добре познато в Древна Гърция: „В пред-гръцкия период най-важното е било да се отговори на въпроса „Как”, докато в Древна Гърция най-важният въпрос е бил „Защо””. Осъзнатото използване на първия подход помага на евристичните дейности на хората занимаващи се с математика и математическа дидактика, докато осъзнатото използване на втория подход увеличава ефикасността на преподаването им. В допълнение в разгледания случай разликата между двата периода от развитието на математиката съответстват на два различни периода в интелектуалното развитие на човечеството, а именно: периода на наивни, не критични и догматични вярвания, неаргументирано дадени от авторитети, и периода на критично възприемане с аргументирани твърдения.

Триадата „елементи, повторение и зависимост” се въвежда и използва не винаги в пълно единство между трите компоненти. Повторението на елементи е също възможно. Обикновено само „елементния” компонент се използва винаги във връзка с други компоненти. Например добре познато е изказването: „Всяка една от трудностите, които се разглеждат трябва да бъде разделена на възможно най-много части така, че да можем да се прицелим към най-ефективно решение”. Ясно е, че се има в предвид връзка между компонента „елемент” във връзка с различните трудности, които са изградени от различни компоненти.

4. Триадата „елементи, повторение и зависимост” в съвременната дидактика по математика

В днешни дни осъзнато приложение на разделението на трудностите според възможностите на студента е надежден инструмент за ефективност в обучителния процес, особено по математика. Тази възможност е измислена като дедуктивна структура на съдържанието, но също така и в доказателството на всяка една теорема и в решението на всяка една задача. Показано е, че всяко решение на задача, в което е включена доказана теорема, може да се разгледа като серии от наредени задачи, които се базират само на преди това решени задачи или приети за вярни твърдения. Като следствие е изведено и понятието „задача-компонент”. Теоремата Z_k с решение A_k е задача-компонента за задачата Z_n със решение A_n ако A_k се съдържа в решението на A_n. Това понятие ни помага да усложним и обогатим езика на дидактическата теория на проблемите на дидактиката на математиката като последица от други понятия свързани с нея като „комплексно решение на задача”, „сложност”, „дидактическа система от задачи” и т.н. От тази възможност се прави и следния извод:

„Ако нивото на възможностите в даден клас са по-високи, тогава учителят трябва да избере задачи с решения използващи по-малко преди това задачи-компоненти. Обратно – ако нивото е по-ниско, то количеството на вече известните задачи-компоненти трябва да е по-голямо. Тази възможност трябва да се използва рационално, за да се избегнат трудностите в доказателствата на сложни теореми от матиматическата учебна програма”.

Също така, по време на упражненията в решаването на задачи, те трябва да бъдат подбрани и систематизирани по такъв начин, че не само да тренират вече познати понятия и концепции, но и да подготвят учениците за решение на нови задачи и доказателства на нови теореми. От друга страна този подход увеличава използването на нагледни принципи. Тази възможност е използвана през 1971 в графиката за стъпаловидно натрупване на знанията, където една голяма задача (стъпало) Z се разбива на по-малки задачи-компоненти (стъпала) Z₁, Z₂ и Z₃ и по този начин се облекчава изкачването на препятствието (решението на задачата).

Така предложената визуална презентация е в съответствие с идеята на Рене Декарт която е дадена в неговото трето правило за „учене на стъпка по стъпка нагоре до финалното знание на най-сложните предмети и явления”. Също така са и в съответствие на по-общата идея на българския академик Петър Кендеров за т.нар. „стъпки на знанието”, която беше използвана в части от европейския проект MATHEU.

Не е трудно да се заключи, че елементът „зависимост” на първата триада е изпълнение на закона на Хегел за диалектиката „обща връзка и съответна зависимост”. Оказва се, че дедуктивната структура на математиката е оказала съществено влияние на последователността от дейности които осигуряват „разбиране” на математическите знания и помагат да се развият способности за развитие на знанията. В много случаи изучаването на самото влияние в общи хипотези е необходимо, за да се спазват нормите за формиране на структурата за фиксиране на знания в дидактиката по математика. Този подход трябва да бъде дедуктивен аналогичен на дедуктивния подход предложен от Аристотел за структурата на научните знания в общ план. Подхода на Аристотел беше цитиран по-горе. Според авторите на настоящата статия, нормите засягащи дидактиката на математиката са следните:

1. Изучаването на всяка възможност свързана с използването на дадено знание трябва да разкрива факторите от които това знание зависи. Според авторите най-важните фактори са:

1.1.Информация за елементите свързани с използването на дадено знание и връзките между елементите;

1.2.Информация за връзките между знанието, което се разглежда и други знания;

1.3.Организация на подходящи дейности за упражнение на използването на връзките между изучаваното знание и други знания.

2. Изучаването на всяка дейност в обучението по математика трябва да различава всички фактори на които тя зависи и всички фактори които дават възможност за продължение към изучаване на други дейности.

3. Структурата и изучаването на всяка система от дейности трябва да организира местата на всяка една дейност. Всяка дейност трябва да бъде до достатъчно количество на вече изучени дейности и познати понятия които са във връзка с нея.

4. Структурата на всички системи от твърдения трябва да бъде организира местата на всяко едно твърдение. Всяко твърдение трябва да бъде близо до достатъчно количество вече доказани твърдения. С други думи структурното обучение трябва да предшества връзките.

Според авторите на настоящата статия приемането на изказаните норми или подобни на тях свързани със структурата на дидактиката на математиката ще подсигурят силна вътрешна систематизация, но също така и ще насочат към научни изследвания към откриването на връзки в дейности, процеси, явления, фактори и др. Знае се, че знанието за връзките на един предмет с други предмети не са по-маловажни от самия предмет или елементите и връзките в тях от които е изграден. Някои примери са посочени по-долу без претенции за достатъчно аргументиран, систематизиран и изчерпателен подход:

1.Възможността за използването на дадено математическо знание зависи изключително много от:

a) Продължителността на запомнянето;
b) Разбирането на знанието;
c) Направените дейности в изучаването на смисъла и използването на знанието

2. Успехът на учениците в изучаването на дадено математическо знание зависи от:

a) Осъзнаването, че знанието е самостоятелно отделено като елемент на друго по-пълно знание, но също така и осъзнаването на общата структура;
b) Математическа подготовка на учителите;
c) Подготовката на учителите в логиката;
d) Подготовката на учителите в дидактиката;
e) Подготовката на учителите в психологията;
f) Досегашното ниво на подготовка на учениците в математиката и изграденото им отношение към науката математика.

3. Продължителността на запомняне на дадено знание зависи от:

a) Нивото на разбирането (разбирането като процес и като състояние);
b) Количеството и характера на направените упражнения по време на изучаването му;
c) Нивото на задълженията към дейностите по време на изучаването;
d) Емоционални фактори по време на обучението;
e) Нивото на умората по време на обучението;
f) Поддръжката на знанията по време на обучението.

4. Разбирането на знание като резултат и като състояние зависи от:

a) Разбирането на дадено знание като процес по време на обучението;
b) Поддържането му като резултат от достатъчно количество дейностив които то се използва.

5. Разбирането на дадено знание като процес по време на обучението зависи от:

a) Нивото на преди това изучени знания, които се използват в обучението;
b) Условията за участие в дейности които са свързани с обучението;
c) Вниманието и умората;
d) Скоростта с която учителят обяснява и условията за това обясненията да достигнат учениците;
e) Активността на учениците.

6. Активността на учениците в обучението зависи от:

a) Разбирането на обясненията на учителя по време на обучението;
b) Съзнателното възприемане на целта на дейността и ролята на знанието за осъществяването й;
c) Осигурените условия за взимане на участие в дейността;
d) Емоционални условия.

Много е подходящо да показваме дейностите, процесите, фактите и връзките вътре в тях чрез граф-схеми. Нека да уточним, че всички 6 примера от по-горе могат да се изкажат много по-детайлно понеже характеристиките в a), b), c) и т.н. зависят и от други фактори, процеси, явления и дейности. Ситуацията е сходна с тази, която засяга дефиниции на понятия и доказателства на твърдения. Аристотел е изказал това като „неприятната безкрайност”. Както е добре известно в математиката тази „неприятна безкрайност” е решена като се приемат така наречените „първични елементи” – първични понятия и аксиоми. Наистина интригуващ проблем засяга дидактиката на математиката – дали може да бъдат приети подобни „първични елементи” при нея и какъв ще бъде характера и вида на тези „първични елементи”.

5. Математическото моделиране като етап в развитието на човешка познавателна дейност

Вече по-горе казахме, че изискването на Аристотел да се дефинира с преди това дефинирани концепции и да се доказва с преди това доказани твърдения важи не само за математиката, а за всички науки. Още повече ще покажем и други важни свойства които засягат специфични за математиката области от една степен в друга. Това, което слага специфично внимание на формацията на възможности за откритие на дадена структура (общи свойства, връзки и др.) от знания между различни дисциплини е диференциация на науките и е последица от диференциацията на учебните дисциплини. Това се случва дори когато една от дисциплините (например математика или дидактика по математика) е преминала в съзнателно разбиране и създаване на основи до ниво на условности. Оказва се, че формиране на възможности под подобни условия, които са характеристични  за дадена област, “завързват” тези възможности само към знания за самата област. Колкото повече знанията имат частен характер, толова по-силна е връзката. „Завързването” засяга осъзнатото разбиране до условна степен, защото според изследванията на психолога Виготски „връзката” може много лесно да премине в други области. Примера със структурата в областта на родовете в руския език е свързан с мисленето като Декартово произведение на две множества. Нека S_M e множеството на съществителните от мъжки род в руския език и O е множеството на окончанията за съществителни от мъжки род. Тогава съществителните са елементи на произдедението S_M X O. Има и аналогична ситуация с глаголите в българския, руския и френския език. Например ако G са стандартните обикновени глаголи в българския език и O са окончанията, тогава различните вербални форми са елементи на Декартовото произведение G X O. Фактически G е разделено на три класа на еквивалентност със съответни три характеристични гласни. По подобен начин множеството от уравненията ax = b могат да се разделят в три класа на еквивалентност със съответни три възможни решения които зависят от коефициентите a и b. Друг пример е свързан с множеството от решенията за построение дефинирани по следното параметрично представяне на задача: „Построете окръжност която е тангента на две дадени линии и минава през точка, която не лежи на нито една от линиите”.

В последните десетилетия откритието и използването на примери като по-горе ни показват, че неосъзнатите свойства на мисловната структура могат да бъдат направени осъзнати и могат да бъдат използвани за разбиране и за поддържане на запомнянето. Така прехвърлянето на мисловни структури от една област в друга стават възможни. За тази цел е подходящ общ подход за формирането към по-висши психически функции, като се използва терминологията на Виготски. От тук следва, че проблемът на междудисциплинарните връзки не трябва да се смята за тясна прагматична логика когато приложението на знанието от един предмет в друг е прекалено елементарно. Целта е да се формират по-висши психически функции с по-голяма степен на обобщеност. Проблемът е свързан директно с умственото развитие на учениците. Под съвременните условия в обществото това води до натурална доминация на информационните технологии в обучението. Напълно разбираемо е, че тази тенденция е видимо забележима и в дидактиката по математика. Като математици, специалистите по дидактика използват най-силния модел за моделиране в математиката. Поради тази причина не е странно, че за първи път законът за количествените натрупвания и качествени изменения намира добро място в акумулирането на знания и това се случва именно чрез дидактика по математика. Процесът на акумулиране на знания взима място под конкретни обстоятелства и може да бъде моделиран с диференциални уравнения. Тази ситуация е сходна с моделирането в екологията или моделирането на износване на машини. Такъв подход е използван в подготовката на талантливи ученици. Един от резултатите в тази посока е първото място на българския национален отбор в класирането на международната олимпиада по математика за гимназисти в Япония 2003. В съответният модел някои идеи от синергетиката и експерименталната психология са във важна връзка с математическите инструменти. Така може да се счита, че възможностите на диалектичните закони са далеч от това да се считат за изчерпани що се отнася до развитието на науките и в преподаването, като естествено в това число и дидактиката по математика. Това, което е важно е да се отнасяме към тях с подходяща връзка с математическите подходи и инструменти. Забележете също, че пропедефтиката в педагогиката се отнася към количествените натрупвания, докато подбуждането се отнася към качествените промени в психологията, тоест подбуждането е качествен скок. Така се прилага законът за количествените натрупвания и качествени изменения. Някои специалисти в дидактиката по математика и история на математиката защитават тезата, че за дедуктивната структура на знанието като цяло и математиката в частност този принцип на разумна аргументация е подсигурен както е в случая с идеологията за поддържане на робство в режим на демокрация в обществото. Като резултат за приемането на това в математиката се въвежда изискване да се дават отговори на въпроса „Защо”.

6. Заключение

Разгледаните примери и не само те показват, че математиката и методиката на обучение по различни дисциплини, дидактиката по математика и информатиката изграят и ще играят основна роля в системите на социалните науки и като последствие в социалната практика също. Ролята не засяга само техническите уреди за изчисление, дори в случаите когато използването на изчисления е далеч от възможността за моментално наблюдение и механични дейности. Още от времето на Аристотел, особено след популяризирането на обучението в училища, аргументацията на знанията създава форми на доказателствено (дедуктивно) мислене и евристичните способности в ученическите години. Хората стават критични и обикновено приемат само доказани твърдения, които са обосновани експериментално, чрез непълна индукция или дедуктивно, но никога само на вяра.

По същество можем да разглеждаме спокойно комбинацията от лекции и упражнения като уроци. Те наистина следват шестте стъпки на стандартния урок, но ги разделят на групи:

• В лекцията се прави пропедевтиката за усвояване на нови знания, въвеждането на нови знания, изучаването на теореми за нововъведените нови знания и систематизирането на научените знания (стъпки 1, 2, 3 и 5 от урока);
• В лабораторните упражнения се прави затвърждаването на изучените теореми чрез решаване на задачи (стъпка 4 от урока);
• Последната шеста стъпка от урока свързана с оценяването на получените знания обикновено не се прави непосредствено след дадения урок, а в края на курса в единен изпит обхващаш всички уроци.

Третата стъпка от изброените е с цел икономия на време. Счита се, че студентите вече са добили достатъчно мотивация за учене и са способни да извършват научно-познавателните дейности обобщение, конкретизация и специализация. Така се предполага, че те са подготвени за работа с по-големи обеми от информация накуп и отпада нуждата от „междинни контроли“ на тяхната подготовка.

Колкото до формалното разграничение на лекции и упражнения – то може да се разгледа в два аспекта. Първият е от гледна точка на преподавателите (учителите) – получава се икономия на труд за хабилитираните преподаватели, като част от тяхната работа (затвърждаването на получените знания) се прехвърля към нехабилитираните (т.нар. „асистенти“). Вторият аспект е от гледна точка на студентите – чрез разделянето на урока на лекции и упражнения се получава частично търсения ефект на програмирано обучение, към който човечеството се стреми от много години.

Основната цел на програмираното обучение е всеки ученик да може да „продължава напред“ изучаването на знания според своите собствени възможности и да не бъде повлияван от общото ниво на групата, както това става с стандартната класно-урочна система на обучение. С други думи всеки ученик трябва да може да „прескача“ уроци за затвърждаване на знания ако е достатъчно подготвен и обратно – да решава повече задачи за упражнение ако знанията му не са затвърдени достатъчно.

Чрез лекциите във висшето образование студентите получават именно необходимия базис от знания, които са задължителни за всички, независимо от конкретното ниво на предварителна подготовка и способности. В последствие различията между студентите би трябвало да бъдат изглаждани чрез целенасочено програмирано обучение с лабораторни упражнения. За съжаление технологичното ниво дори на електронните учебници все още не позволява ефективно програмирано обучение и затова лабораторните упражнения все още се провеждат чрез класно-урочна система.

Можем все пак да кажем, че програмирано обучение може да се получи частично ако позволим на студентите да пропускат избирателно по свое усмотрение цели или части от лабораторни упражнения. По този начин студентите, които се чувстват достатъчно подготвени в конкретната тематика на упражнението ще могат да спестят време от ненужно повторение на вече научени знания и да го инвестират в научаването на други. Наистина влизаме в основно противоречие с теорията, а именно, че не самия индивид трябва да решава дали е подготвен или не, а това би трябвало да се оценява от учителят му. Затова трябва да приемем един такъв модел като не добро и както беше отбелязано нееднократно – частично постигане на програмирано обучение. Недостатъците на този модел биха могли да бъдат „затъпени“ при въвеждане на по-строги правила на оценяване в края на курса.

В моментната реализация на модела „лекции-упражнения“ в България най-общо има два варианта. В единият и лекциите и упражненията са „незадължителни“, т.е. студентите могат да избират дали да ги посещават или не. Така е например във ФМИ на Софийски Университет.

В други висши учебни заведения като например Технически Университет, както и други факултети на Софийски Университет, се използва модела на въвеждане на „заверки“, но само за лабораторни упражнения. Това означава, че посещението на лекциите не е задължително, но присъствието на лабораторни упражнения е. Както можете сами да се досетите този модел е лишен от прилагане на логиката изказана по-горе. Представете си, че студент не е изучил основния базис от знания и в същия момент е принуден да ги затвърждава чрез упражнение. Възможно ли е някой да затвърждава знания, за които все още не знае?

Затова лично аз смятам, че моделът трябва да се промени в обратната посока. Посещението на лекции би трябвало да бъде задължително, защото те са същността и основата на образованието, а лабораторните упражнения трябва да станат избирателни за студентите. По този начин ще получим едновременно строга и гъвкава система на обучение.

Изучаването както на уравнения, така и на неравенства започва с далечна пропедевтика още от първи клас. Още тогава след като са се научили да събират числа започват да се появяват и първите уравнения с неизвестно, които се записват в следния вид:

Пример: Попълнете липсващата цифра в квадратчето: 2 + □ = 5

Пропедевтиката на понятията „променлива“ и „корен на уравнение“ в случая е, че казваме на децата, че в квадратчето може да се запише всяка цифра, но само една ще даде вярно решение на задачата.

Също в края на първи клас се появяват и неравенствата. Децата се учат на това да сравняват две числа и да записват съответните знаци „>“, „<“ или „=“ между тях:

Пример: Поставете подходящия знак: 2 + 3 □ 1 + 5

Във началото на втори клас се въвежда т.нар. „буквена символика“. Споменатото по-горе уравнение вече се записва по нов начин.

Пример: С кое от числата 2, 3, 4 и 5 трябва да заместим „a“ така, че да е вярно: 2 + a = 5?

След добро трениране на тези задачи не закъсняват и примерите с неравенства.

Пример: С кои от числата 5, 6, 7, 8 и 9 може да се замести „а“ така, че да е вярно: 3 + a > 9?

По този начин се преминава и към аритметичното правило за решаване на тези уравнения и неравенства. Бавно, но сигурно се достига и до правилото за „прехвърляне на число“ от едната в другата част на уравнение, а после и на неравенство.

В трети и четвърти клас в решаването на уравнения и неравенства се намесват и операциите умножение и деление. Децата отначало се сблъскват със задачите от типа:

Пример: Решете a.4 = 8

Именно в тези класове е важно да се направи и връзката между деление и умножение. Тук целенасочено ще показваме, че 8:a = 4 и a.4 = 8 са две еквивалентни уравнения. Естествено това се пренася и при неравенствата.

Пример: С кои от числата 1, 2, 3 и 4 може да се замести „а“ така, че да е вярно: a.7 > 20

В 5 клас продължава пропедевтиката чрез решаване на уравнения и неравенства с рационални числа. Вече се въвежда понятието „неизвестно“ и на негово място се пише „x“. Решават се първоначално задачи с уравнения:

Пример: Намерете стойността на неизвестното „x“ в уравнението: (2/3).x = 7/12

Учениците явно се научават на правилото за умножение „на кръст“.  Колкото до неравенствата – появяват се задачи от вида:

Пример: За кои цели числа заместени в „x“ е вярно неравенството: 15/3 > x > 2/3

В шести клас се разглеждат почти същите задачи, но с по-сложни сметки. Въвежда се и понятието „по-голямо или равно“, което е и първият сериозен досег на учениците с математическата логика. Така те плавно започват да бъдат въвеждани към понятието „система“ от уравнения/неравенства.

В седми клас може да се каже, че изучената информация се систематизира. Използвайки научно-познавателния метод „обобщение“ учениците за първи път се сблъскват с теореми и теоретични заключения като цяло. Това всъщност са теоремите за еквивалентност на уравнения:

Теорема 1. Ако в уравнението f(x) = g(x) заменим f(x) с тъждествен на него израз p(x) от същото дефиниционно множество, то полученото уравнение е еквивалентно на първото.

В задачи използващи тази теорема обаче е важно строго да се изучи кой израз на кой е тъждествен. За това всъщност учениците дори леко догматично се заучават да пишат т.нар. „дефиниционни множества“. Те трябва да разберат, че изразите (x+3) и (x+3)(x-1)/(x-1) не са тъждествени, защото са от различни дефиниционни множества.

Теорема 2. Ако в уравнението f(x) = g(x)  добавим един и същи израз p(x) (от същото дефиниционно множество) от двете страни на равенството, то полученото уравнение е еквивалентно на първото. Тоест f(x) = g(x) <=> f(x) + p(x) = g(x) + p(x)

Може би няма нужда да споменаваме, че това е и една от най-важните теореми. Именно чрез нея и нейните следствия се решават най-много от уравненията. Най-често използвано естествено е следствието й, че „можем да прехвърлим число от едната страна на уравнение в другата, но с обратен знак“. Не по-малко важна обаче е и:

Теорема 3: Ако умножим двете страни на уравнението f(x) = g(x) с p(x) от тяхното дефиниционно множество, то полученото уравнение е еквивалентно на първото, т.е. f(x) = g(x) <=> f(x).p(x) = g(x).p(x).

След като тези три основни теореми бъдат изучени, то се преминава и към въвеждането на сходни техни теореми, но в задачите за неравенства. Именно този преход е много подходящ, защото теоремите сами по себе си си приличат:

Теорема 4: Ако в неравенство един израз се замени с еквивалентен на него, то неравенството не се променя.

Ясно е, че тази теорема е напълно същата като теорема 1. По-нататък правим аналогия и с прехвърлянето на числа от едната в другата страна на уравнение, но този път с неравенство:

Теорема 5: Ако прехвърлим число от едната в другата страна на неравенството, но с обратен знак, то се получава еквивалентно неравенство.

Последната теорема за уравнения обаче се разделя на две части, когато се показва нейния аналог при неравенствата. Именно това е трудно за усвояване от учениците и следва да се затвърди чрез по-голямо количество примери:

Теорема 6: Ако умножим двете страни на неравенство с положително число, то неравенството не се променя.

Теорема 6′: Ако умножим двете страни на неравенство с отрицателно число, то неравенството променя знака си.

В малко по-късен етап същите две теореми се прилагат не само с числа, а с цели изрази p(x)>0 или p(x)<0. В средата на 7ми клас се мотивира понятието „параметрично уравнение“. Това е сериозна стъпка, която води до значителни проблеми в решаването на задачи. Обикновено учениците имат проблем с изясняването на разликата между „параметър“ и „неизвестно“. Удачно е да постъпим по следния начин:

Пример: Решете уравненията:

a) 5.x + 10 = 100

б) 5.x + 20 = 100

в) 5.x + 50 = 100

г) 5.x + b.x = 100

д) (5 + b).x = 100

Плавното преминаване към понятието параметър е желано и до известна степен естествен ход на изучаването му. Обикновено се ограничаваме до решаването на уравнения от вида a.x = b. Важно е обаче постепенно да мотивираме и т.нар. „изследване“ на параметрите на уравнението. За целта се дискутира групово какво е решението на задачи като 0.x = b, a.x = 0 и 0.x = 0. След решаване на няколко подобни задачи знанията се систематизират. Така обобщаваме, че решението на уравненията a.x=b е:

1. x = b/a при b!=0;
2. Всяко x при a=0 и b=0;
3. Няма решение при a=0 и b!=0.

Много е важно да се подчертае, че изследването се прави преди решението на уравнението. Много често се среща грешката при учители, които първо показват, че x = b/a, а чак след това правят „изследване“. Това е грешен подход, който обърква логиката на решение и учениците се научават на неправилен подход при решаването на параметрични задачи. След тази стъпка се разглеждат и решенията на неравенствата a.x > b и a.x < b. Отново се набляга на изследването на параметрите преди даването на решение.

По-нататък се продължава с неравенства от типа a.x + b > 0 и a.x + b < 0. По естествен път следват уравнения от вида a.x + b = c и неравенства a.x + b > c и a.x + b < c.  При тези задачи се следва същия подход, както в предишните.

След това се преминава и към модулни параметрични уравнения и неравенства. Това са задачи от типа:

Пример: Решете уравнението: |a.x + 2| = 10.

Тук явно мотивираме понятието „система“, която всъщност е конюнкция от две уравнения. Отново се прави т.нар. „изследване“ при кои стойности на a модулът е отрицателен и при кои положителен. Същото нещо се прилага и при неравенства:

Пример: Решете неравенството: |a.x + 2| ≥ 10.

Целесъобразно е в края на 7ми клас да се направи пропедефтика към много известните „квадратни уравнения“. За целта се решават множество задачи от типа:

Пример: Решете уравнението: (2.x + 3).(3.x – 2) = 0

Отново учениците се учат да правят системи, защото решението е, че или (2.x + 3) = 0 или (3.x – 2) = 0. За неравенства от този тип обаче все още е рано.

В 8ми клас се пристъпва към целенасочено изучаване на квадратни уравнения. За целта се прави пропедефтика за извеждане на формулата за дискриминанта и намиране на корените. Решават се последователно задачи като:

Пример: Решете уравнението:

a) x² – 4 = 0 (използва се формула за съкратено умножение a² - b² = (a – b).(a + b));

б) (x² – 3)² – 4 = 0 (отново се използва същата формула, но в случая a = x² – 1);

в) x² – 6x + 5 = 0 (това уравнение може да се сведе до горното);

г) 2x² – 12x + 10 = 0 (това уравнение може да се сведе до горното).

С примери подобни на последния ние трябва да мотивираме учениците да се научат сами да „допълват до точен квадрат“. След последователно решение на редица задачи можем да обобщим и формулата:

a.x² + b.x + c = 0 <=> a.(x² + (b/a).x + c/a) = 0

<=> a.(x² + (2b/2a).x + b²/(2a)² – b²/(2a)² + c/a) =0

<=> (x + b/2a)^{2 - (}b² – 4ac)/(2a)² = 0

От тук вече дефинираме понятието дискриминанта D = b² – 4ac и изразяваме уравнението така, че да се използва формулата за съкратено умножение. Следва изследване за решението на уравнението. След няколко последователни задачи, в които се тренират стъпките от доказателството на теоремата – заучаваме учениците да следват решенията на квадратни уравнения по алгоритъм.

След изучаването на квадратно уравнение следва въвеждането на квадратно неравенство. Използват се основно формулите при задачи в които D≥0, че:

a.x² + b.x + c > 0 <=> a.(x – x₁).(x – x₂) > 0

a.x² + b.x + c < 0 <=> a.(x – x₁).(x – x₂) < 0

Нужно е да се решат множество задачи в които x₁ и x₂ са с еднакви и различни знаци. Едва след като тези задачи са утвърдени добре – въвеждаме и задачите, в които D<0. Там изследването е сложно за учениците и затова много от тях заучават решението догматично. Оказва се преди това наученото от уравненията, че a.x² + b.x + c = 0 няма (реално) решение при D < 0 влиза в погрешен конфликт с факта, че a.x² + b.x + c > 0, a > 0 и D < 0 има решение „всяко x“. За a.x² + b.x + c < 0 и D < 0  се показва, че няма решение. Случаите с a < 0 се свеждат до другите като двете страни на неравенството се умножават с числото -1.

Забележете нещо много важно – едва след аналитичните решавания на квадратни неравенства чрез изследване се въвежда и така популярния „метод на интервалите“. Основна грешка е да го въвеждаме догматично без обосновка. Учениците трябва в един вид сами да го преоткрият като алгоритъм за решаване на неравенства. Графичното решаване на неравенства се въвежда едва накрая, като елемент за развиване на евристични способности в учениците.

Точно на този етап (в края на 8ми клас) можем да кажем спокойно, че учениците вече са запознати с теорията на уравнения и неравенства. От тук нататък е значително по-лесно надграждането с по-сложни задачи в по-горни класове. Естествено следват биквадратните уравнения (свеждащи се до квадратни). След като сме развили евристичните способности на учениците достатъчно можем да започнем да решаваме спокойно ирационални, показателни, логаритмични и тригонометрични уравнения и неравенства. Естествено всяка една от тези групи върви в последствие на изучени съответни знания. Специфична методика при тях има, но не е основна. В общи линии учениците, които имат вече добре изградена основа нямат проблеми с усвояването на материала.

Когато говорим за основните операции – нормално човек се досеща за операциите за събиране на числа. Тези операции обаче далеч не се използват само за числа. Съвсем спокойно в геометрията говорим за събиране и изваждане на ъгли и събиране и изваждане на отсечки. Също така знаем, че съществува събиране и изваждане на вектори. Целта на методиката на обучение на математически операции е да създаде единен подход при изучаването на операциите и да се изтъкнат общите им свойства, които са независими от множеството, в което се прилагат. Именно думата множество е съществена – в училище се използват операции именно върху множества: числови, отсечки, ъгли, вектори, функции, редици…

Основното нещо, което трябва да изтъкнем за операциите изучавани в училище е, че те са валидни върху множества от т.нар. тип „група“. Ако имаме дадена операция „Ω“, то за да бъде едно множество M група спрямо Ω е необходимо да се изпълнят следните условия:

1. Асоциативност: (a Ω b) Ω c = a Ω (b Ω c) за всички елементи a, b и c от множеството M;
2. Комутативност: a Ω b = b Ω a за всеки два елемента a и b от множеството M;
3. Неутрален елемент: съществува елемент e от M такъв, че за всеки елемент a от M е изпълнено a Ω e = e Ω a = a;
4. Обратен елемент: за всеки елемент a от M съществува неговия обратен a’ от M такъв, че е изпълнено a Ω a’ = a’ Ω a = e.

Нека дадем няколко примера с операцията „умножение“ върху числови множества:

• Асоциативност: a*(b*c) = (a*b)*c;
• Комутативност: a*b = b*a;
• Неутрален елемент: a*1 = 1*a = a;
• Обратен елемент: a*(a^-1) = (a^-1)*a = 1, но само при a различно от 0.

Ето и примери с операцията „изваждане“. Важно е да се обоснове, че всъщност тя самостоятелно не е операция, а е просто съкратен запис на операцията събиране, защото a – b = a + (-b), където „-b“ е обратния елемент на „b“. Затова въпреки, че тя първоначално изглежда, че не е комутативна, то всъщност е (използва комутативността на събирането):

• Асоциативност: a – (b – c) = (a – b) – c;
• Комутативност: a – b = a + (-b) = -b + a;
• Неутрален елемент: a – 0 = a + (-0) = 0 + a = a;
• Обратен елемент: a – a = a + (-a) = (-a) + a = 0.

Проблемите с изучаването на операциите страда главно от проблема изказан в статията за двучленни релации, а именно – задачите се разглеждат „еднопосочно“. Учениците например много добре знаят, че a – a = 0, но много рядко се досещат да правят обратното – да заместят 0 с a – a. Този проблем води до липса на развитие на евристични способности у учениците. Именно затова се е наложило и названието „изкувствени преобразувания“ когато добавяме и изваждаме едно и също число в израз. Думата „изкувствени“ се е наложила именно защото учениците не са подготвени с по-прости задачи, в които са нужни такива преобразувания. Така много често задачите, в които се прави заместване на 0 с a – a остават неразбрани. Дори има и една често употребявана закачка: учениците попитали учителя как се е досетил да направи такова преобразувание и той отговорил „умен съм бил – сетил съм се“.

Друг проблем е, че рядко се обръща внимание на общия подход при решаването на различни задачи. Например при събиране на дроби когато децата трябва да решат сбора 1/2 + 2/3 те първоначално намират т.нар. „най-малко общо кратно“ и преобразуват израза в (3 + 4)/6. Трябва обаче да им се покаже, че всъщност това уравнение е еквивалентно на 3/6 + 4/6. Така 3/6 от своя страна се явява представител от класа на еквивалентност на 1/2, а 4/6 е представител от класа на еквивалентност на 2/3. С други думи – важно е да покажем на децата, че заменяме всеки един от елементите в задачата с друг, еквивалентен на него, а не да сервираме алгоритъма за решение догматично.

По-късно можем лесно да прилагаме аналогично подхода и при други задачи. Например при сбор на два вектора ние първо намираме други два от техните класове на еквивалентност, които са с обща начална точка. Същото се прави при сбор на отсечки, сбор на ъгли и т.н.

Както вметнахме по-горе – операцията изваждане всъщност е съкратен запис на операцията събиране. Това доста често се пропуска да се изучи и затвърди. Същото можем да кажем и за операцията деление спрямо операцията умножение – обикновено делението се разглежда като съвсем отделна независима операция, а всъщност лесно в по-горните класове може да се наблегне, че a/b = a*b^-1. Още повече – самото умножение като операция също е производна на събирането, защото например 3*a = a + a + a. Тоест ако ние изтъкваме тези факти ще имаме една по-добра основа с много по-малко догматично въведени операции.

Последният споменат проблем се мултиплицира в по-горните класове. Операцията степенуване е производна на операцията умножение, защото например a³ = a*a*a. Както казахме по-горе самото умножение е производно на операцията събиране. Тази наследственост при въвеждането на операциите е добре да се показва и затвърждава, за да могат учениците да добиват по-здрава основа на знанията си.

Така можем да заключим, че най-големият проблем при изучаването на операциите си остава липсата на разглеждане на техните дефиниции. Вместо това учителите се увличат догматично да въвеждат алгоритмите за извеждане на решенията на задачите. Така вместо да надграждат своите първични знания децата са принудени да заучават наизуст дадени алгоритми. Това определено при някои от тях води до отвращение към математиката, защото много неща остават неясни и съответно биват оприличавани като „трудни“. Безспорно е, че научаването наизуст на едно стихотворение по литература е доста по-приятно от зазубрянето на поредици от математически формули без логическа обосновка като основа…

Използвана литература:

1. Методика на обучението по математика (специална част), Благоевград 2002;
2. Прости математически действия в Wikipedia

В училище за първи път функции се въвеждат в средата на 19 век. В началото на 20 век функциите вече са основна и неизменна част от учебниците по математика. Започва да се налага идеята, че почти всяко нещо може да се представи като функция и така се появява и дидактическото понятие „функционален подход“.

Класическата дефиниция на понятието „функция“ е следната:

Деф. Функция наричаме правило, по което на всяка стойност на независима променлива се съпоставя точно една стойност на зависима променлива.

Тази дефиниция използва за основа понятието „правило“, което се приема за интуитивно ясно. За целите на математиката обаче можем да въведем по-строга дефиниция:

Деф. Релацията f от множеството А към множеството В се нарича функция от А към В, ако на всеки елемент х от А се съпоставя точно един елемент у от В.

Съществуват естествено и други дефиниции. Например за нуждите на физиката се използва доста лесната за усвояване:

Деф. Функцията е променлива величина, на която стойностите зависят от стойностите на друга променлива величина.

Все пак дефиниране на функциите чрез явното посочване на факта, че работят с множества, е може би най-добрия подход. Освен това още в самото начало поставяме едно нужно ниво на абстракция, а именно – елементите на множествата може да са всякакви. Съществува проблем, при който учениците отъждествяват понятието „функция“ с неговото видово понятие „числова функция“. Това естествено е само един от многото видове функции, които съществуват.

Естествено числовите функции надделяват в обема от задачи и учениците най-често работят с тях. Именно при тях е най-лесно и въвеждането на понятието „графика на функция“, при което се построява т.нар. „координатна система“, в която за всяко x се съпоставя точка от координатната равнина (x, f(x)). Графиките на функциите са чудесен и много полезен начин за онагледяване на сложни за анализ функции.

Подготовката за въвеждането на понятието функция започва още от най-началните класове. Там често се дават задачи в които децата попълват таблички като заместват даден параметър с различни числа. Това е именно пропедевтика чрез таблично представяне на функция.

По-късно в училище основно се разглеждат графиките на следните функции:

1. f(x) = a.x + b;
2. f(x) = a.x² + b.x + c;
3. f(x) = sin(x);
4. f(x) = cos(x);
5. f(x) = tg(x);
6. f(x) = cotg(x);
7. f(x) = a^x;
8. f(x) = log_a(x).

На всяка от посочените по-горе функции се разглеждат и вариантите:

1. f(x+a) – транслация по оста Х;
2. f(x) + a – транслация по оста Y;
3. f(x+a) + b – транслация;
4. -f(x) – осева симетрия спрямо оста Х;
5. f(|x|) – симетрия спрямо оста Y.

Що се отнася до построяването на графики на функции то най-често се основаваме само на индуктивни умозаключения. В училище не се използва и доказва пълна индукция, защото материала е прекалено сложен за доказателство. Например при построяването на графика на линейна функция ние построяваме поредица от точки, които накрая свързваме и забелязваме, че графиката е права линия. Така правим именно индуктивно заключение. В последствие правим и допълнително умозаключение, че е достатъчно да построим само две точки от графиката на линейната функция, за да получим дадената права.

В много по-късен етап, когато учениците са се сблъскали с изследването и чертаенето на графики на функции, можем да дадем и „обратната задача“. Това са евристични задачи в които според графика на дадена функция учениците трябва да се досетят за приблизителния вид на буквения запис на числовата функция.

Добре е да се дават и примери за функции  с други видове задачи. Например можем да покажем формулата за лице на триъгълник чрез функция, в която основата е константа (a), а височината е променлива (x), т.е. S = f(x) = a.x/2. Същото може да се покаже с лице на кръг (радиуса е променлива) и други фигури.

Накрая, след като учениците добре си служат с апарата на функциите, е много добре да се покаже метода за графично решаване на уравнения от типа f(x) = g(x), където решенията са пресечните точки на графиките на функциите f и g. Това обикновено предизвиква голям интерес у учениците.

Важно е да се избягва прекалено увлечение по функции от типа f(|x|). Получават се много начупени графики, които обикновено се харесват от учителите и учениците, но в никакъв случай не трябва да се пренебрегват другите варианти на f(x) заради тази. Трябва всички да бъдат тренирани равностойно.

Използвана литература:

1. Методика на обучението по математика (специална част), Благоевград 2002;
2. Статия „функции“ в Wikipedia.

Понятието „двучленна релация“ е навлязло съвсем скоро в науката математика и поради тази причина все още не е навлезнала в училище. Все още няма и разработена ефективна методика за изучаване на двучленни релации.

Примери за двучленни релации, които се изучават в училище са:

1. Релациите „=“, „>“, „>=“, „<“ и „<=“ в различните множества от числа, в множеството на отсечките и в множеството от ъглите;
2. Перпендикулярност, успоредност, пресичане и кръстосаност в множеството на правите;
3. Перпендикулярност, успоредност и пресичане в множеството на равнините;
4. Перпендикулярност, успоредност и пресичане между множествата на правите и равнините;
5. Подобие, еднаквост и равнолицевост в множеството на многоъгълниците;
6. Допиране, пресичане и липса на общи точки между множествата на правите и окръжностите;
7. Подобие и тъждественост в множеството на алгебричните изрази;
8. Следствие и еквивалентност в множеството на съжденията;
9. Следствие и еквивалентност в множеството на уравненията и в множеството на неравенствата;
10. Еквивалентност в множеството на векторите.

Особено важни сред всички двучленни релации са т.нар. „релации на еквивалентност“. Това са релации, които са дефинирани в едно и също множество. Ако това множество е A, а релацията е R ⊆ AхA, то релациите на еквивалентност изпълняват следните условия:

• Транзитивност – ∀(х, у) ∈ R ∩ ∀(у, z) ∈ R ⇒ ∀(х, z) ∈ R.
• Симетричност – ∀(х, у) ∈ R ⇒ ∀(у, х) ∈ R;
• Антисиметричност – ∀(х, у) ∈ R ∩ ∀(у, х) ∈ R ⇒ x≡у (х съвпада с у);
• Рефлексивност – ако ∀х ∈ А ⇒ (х, х) ∈ R;

Всъщност липсата на изучаване на тези четири свойства е и един от основните методически проблеми в училище. Транзитивността например се изучава доста рядко. Например такава е теоремата, че ако права „a“ е успоредна на права „b“, а права „b“ е успоредна на права „c“, то права „а“ е успоредна на права „c“. Определено обаче дори в този пример липсва последователност. В много други случаи транзитивността дори не се споменава като факт.

Много често задачите се разглеждат „еднопосочно“ и не се тренира симетричност. Така например учениците винаги се досещат да развият (a+b)² = a²+2ab+b², но по-рядко се досещат да правят обратното – да заместват a²+2ab+b² = (a+b)². Същото важи с още по-голяма степен при задачите от тригонометрията – например sin2α = 2sinα.cosα се прилага често, но обратното 2sinα.cosα = sin2α. Проблемът с липсата на разглеждане на симетричността на двучленните релации започва още от разглеждането на формулите за съкратено умножение.

Колкото до антисиметричността – там положението не е по-различно. Децата много трудно могат да се досетят, че може да се докаже, че две числа са равни ако двете се делят взаимно (ако „a“ дели „b“ и „b“ дели „a“, то „a“=“b“). Въпреки това в учебните програми се разглеждат доста рядко такива доказателства.

Рефлексивността се изследва по-често и учениците се сблъскват с нея. Въпреки това трудно виждат равенството или равнолицевостта между застъпени или сливащи се геометрични фигури.

Като най-голям недостатък в изучаването на двучленни релации обаче можем да изтъкнем липсата на обобщение. Обикновено се разглеждат релации между конкретни обекти, но свойствата на самите релации не се изследват. Например изучават се задачи за успоредни прави, но не се разглежда обобщен въпрос „как да се установи успоредност“ в общия случай. Очаква се учениците да усвояват свойствата неосъзнато, но това не се получава винаги.

Методическите проблеми при изучаване на двучленни релации се задълбочават и от липсата на единство в начина на въвеждане на теореми-свойства и теореми-признаци в учебниците. Не е редък случая, в който така наречените по народно „обратни теореми“ не се разглеждат въобще. Именно те обаче често се оказват основни за усвояването на свойствата на двучленните релации.

Колкото до учителите – много често се сблъскваме с проблем, в който те се опитват да избегнат споменаването на терминология двучленни релации. Никак не е рядък случая, в който учениците са научени, че (x+3)/2=0 и (x+3)=0 (с освободен знаменател) са едни и същи уравнения. Те всъщност са две различни уравнения от един клас на еквивалентност, т.е. допуска се грешка с отъждествяване на обект с неговия клас. Не е рядкост и обратното – отъждествяване на клас с обект. Например един свободен вектор всъщност е представител на цял клас от насочени отсечки, но учениците много често отъждествяват целия клас с неговия представител.

Накрая трябва да споменем, че и отрицанието на двучленни релации също не се разглежда достатъчно. Дори тривиалните примери, като например, че !(a>b) <=> (a<=b) се пропускат. В по-късен етап този проблем се задълбочава. Например ако попитате учениците какво означава „правата a не е успоредна на правата b“, то рядко ще чуете изчерпателния отговор „(a пресича b) или (a съвпада с b) или (а и b са кръстосани прави)“. Именно тези задачи са основни за косвените доказателства (с допускане на противното) и никак не е чудно, че учениците се затрудняват с тях.

Използвана литература:

1. Методика на обучението по математика (специална част), Благоевград 2002;
2. Курс лекции по Дискретна Математика, проф. д.т.н. А. Д. Лазаров.

Деф: Множество наричаме съвкупност от обекти, обединени по техни общи свойства.

Веднага можете да се досетите, че има пряка връзка между понятията и множествата. Само по себе си всяко понятие описва дадено множество. Именно обемът на понятието, което припомняме беше съвкупността от всички обекти от това понятие, е множество. Вече разгледахме тази тема в статията множества от обекти и понятия.

В съвременните учебни програми в училище множествата все още не се разглеждат като самостоятелна и отделна теория. Въпреки това те целенасочено се използват като средство за изучаване на различни понятия. Така можем да говорим не за „изучаване на теория на множествата“, а по-скоро за „теоретико-множествен подход“ в обучението. Това означава, че там където в теоремите и задачите се използват множества – те не се премълчават или скриват, а се използва терминологията пряко въпреки, че теория на множествата не е изучавана. Разчита се на интуицията и пряката връзка с реалния свят. Например:

1. При изучаване на системи уравнения и системи неравенства се търси „сечение на множествата от решенията на уравненията“;
2. При решаване на уравнение от вида f(x).g(x) = 0 казваме, че търсим обединението от решенията на уравненията f(x) = 0 и g(x) = 0;
3. В стереометрията говорим за „сечение на две равнини“, „сечение на равнина с многостен“, и т.н.;
4. В геометрията когато имаме фигура съставена от други по-малки фигури казваме, че тя е обединение на фигурите.

Използването на понятията „множество“, „сечение“ и „обединение“ всъщност е в сферата пропедевтиката – използването им насочва учениците към изучаване на все повече и повече свойства от теорията на множествата. Използването на единна терминология въпреки, че тя самата не е изучена в своята същина, води все пак до единен подход при разглеждането на принципно различни въпроси. В противен случай тези въпроси биха се разглеждали като напълно различни един от друг и учениците няма да виждат общото между тях. Другото изключително предимство на теоретико-множествения подход е налагането на принципа на нагледност.

Тук искаме да отбележим едно изключително важно твърдение от теорията на множествата – т.нар. „антисиметричност“ на релацията „…е подмножество на…“. То е следното:

(A B)^(B A) => A = B

Това се използва изключително често при задачи за доказване. Например ако искате да докажете, че „симетралата е множество от точки равноотдалечени от краищата на отсечката“, то трябва да минете през два етапа. Ако с множеството A означите точките от симетралата, а с B точките равноотдалечени от краищата на отсечката, то трябва да докажете, че:

1. Ако т.XЄA => т.XЄB, т.е. A B;
2. Ако т.XЄB => т.XЄA, т.е. B A.

Доказвайки тези две стъпки ние доказваме, че множеството от точки наречено „симетрала“ съвпада с множеството от „точки равноотдалечени от краищата на отсечката“. Аналогично може да се демонстрира, че същия принцип се използва и при задачите за еквивалентност на уравнения – трябва да се докаже, че всички решения на едното уравнение са решения и на другото и обратно.

Важно е да се отбележи, че теоретико-множествения подход не е свързан само с математиката. Напротив – той се използва изключително често и в другите науки. Това е още един голям плюс при неговата употреба – така се засилват междупредметните връзки и се създава все по-единен „език“ между отделните учебни предмети.

Използвана литература:

1. Методика на обучението по математика (специална част), Благоевград 2002;
2. Статия „Множества“ от Wikipedia.

В Еврора за първи път организирано обучение се е появило в Рим около 1 век преди новата ера. Целенасочено обучение основано на сериозна методика съществува от школите на Талес, Питагор, Аристотел и Платон. Именно тогава се заражда т.нар. „индивидуално-организирано обучение“.

При индивидуалното обучение учителят отделя внимание на всеки ученик поотделно. Попринцип за самия индивид това е най-добрата форма на обучение от гледна точка на качество, но за съжаление с се оказва, че тя не е времеви изгодна, защото се изпитва осезаем недостиг на учители. Все пак можем ясно да я видим и днес под формата на т.нар. „частни уроци“.

Затова в търсене на по-икономически обосновано решение постепенно се заражда т.нар. „класно-урочна“ система на обучение, която е позната като „училище“ и до днес. Тя е дефинирана формално чак през 17век от Ян Комерски. Очевидните й предимства са икономичността и финансовите изгоди. Класно-урочната система на обучение бързо показва и своите недостатъци, а именно – липсата на индивидуален подход. При нея учителят рядко има време да отдели внимание на всеки един ученик поотделно. Затова и до ден днешен се търси градивен междинен вариант между индивидуално-организираното обучение и класно-урочната система.

През 18 век в Англия се е зародило т.нар. „взаимно обучение“, което е типично за английските университети и до днес. При него студентите се разделят на малки групи, като на всяка една от тях се назначава отговорник – най-добрия студент. Той от своя страна има за цел да следи нивото на обучение сред своите състуденти и да им помага в тяхното обучение.

В малко по-късен период в САЩ се заражда т.нар. „Далтонплан“. При него уроците се разделят на две части – първата е обща с цялата група. Във втората част на всеки ученик се задава самостоятелна задача. Въпреки, че остатъци от него са валидни в системата на обучение в САЩ и до днес, тази система доказа своите слабости, а именно – липсата на колективна работа. В учениците се формират прекалено силни индивидуалности и те не се научават да работят в екип.

В началото на 20 век в СССР се заражда и пълната противоположност на Далтонплана – т.нар. „бригадно-лабораторно обучение“. При него се залага изключително и само на работата в екип. При този тип обучение работата на учителя е сведена до контролни функции. Тази система доста бързо бива отречена, понеже показва доста слаби резултати в нивото на обучение.

След 50те години на 20 век се заговаря за т.нар. „програмирано обучение“. То се основава на класно-урочната система, в която задачите за затвърждаване на вече придобити знания се решават индивидуално. Идеята е на всеки ученик да се дава възможност да решава задачи с различна трудност, в зависимост от своите собствени способности. Така например добрите ученици биха преминали по-бързо през лесните задачи и биха решавали предимно по-трудни и обратно – по-слабите ученици ще наблегнат на упражнение на повече, но по-лесни задачи. По този начин обаче се получава един сериозен проблем – учениците завършват класа с различна степен на подготовка. Разделението вътре в класовете започва да демотивира силните ученици, понеже учителя е длъжен да се съобрази с нивото на по-слабите. Възможен е и обратния вариант в който слабите ученици изпадат в отчаяние от невъзможността си да разберат материала, който е преподаван за по-подготвените им съученици.

Затова най-модерната система позната до днес е т.нар. „разклонено програмирано обучение“. Всъщност то е познато отдавна, но става все по-популярно с навлизането на компютърната техника в училище. Съдържанието, което трябва да се усвои, се разделя на порции. След завършването на решението на дадена порция се прави проверка на знанията. В зависимост от резултата различните ученици се препращат към различни порции от знания. Теоретически това дава подход за индивидуализация в обучението. Първите опити са били направени чрез писане на учебници с препратки към различни страници (за незапознатия читател – това е подобно на популярните в близкото минало „книги-игри“). Това се е оказало доста сложно за изпълнение. Затова обаче компютърната техника се оказва доста подходяща. Все още не е реализирана адекватна практическа система за обучение по този метод, но се работи активно в научните среди. В последните години именно в България (нещо, за което лично изпитвам голяма гордост) се развива от мен и мои колеги теория за т.нар. „Диалогово-обучаващи програми“, която е уникалка в това отношение и смея да твърдя, че е най-добрата позната досега реализация на разклонено програмирано обучение. Нещо, с което като българи можем само да се гордеем!

При всички системи на обучение обаче можем да говорим за условно разделение на знанията в т.нар. уроци. Всеки учебен предмет е разделен на уроци, които са носят относително независими порции знания. Казваме „относително“, понеже те не могат да се усвоят изолирано – нужно е да бъдат изучени предишните уроци, но все пак логически те могат да се разглеждат като отделни градивни единици на науката.

Всеки един урок започва с т.нар. „подготовка“. В нея се прави пропедефтика, чрез която учениците се подготвят за усвояването на новите знания. Нужно е да се актуализират старите знания, да се наблегне на тези, които ще бъдат използвани непосредствено и може би най-важното – да се систематизират основните знания.

Втората стъпка в един урок е да се въведат новите понятия. Това обикновено става чрез използване на научно познавателния метод обобщение. Добре преговорените стари знания в комбинация с поставени нови проблеми довеждат учениците до логичното търсене на нови закони. Това може да стане чрез подходящи задачи с примери. Обикновено посочваме нови близки до познатите, но все пак непознати обекти. Така от тях формираме обема на ново понятие.

Третата стъпка е изучаването на нововъведените понятия. Това става като се посочат и обосноват теореми свойства и теореми признаци. Нова е и най-важната стъпка, която изисква най-голямо внимание от учениците. Именно затова трябва да се стремим именно тук да бъдем най-ясни и изчерпателни. Тук не трябва да остават съмнения или неясни моменти.

Четвъртата стъпка е практическото упражнение на изучените нови знания в екип. Това става чрез задачи за упражнение. Стремим се да започнем от лесни задачи с решения с директно прилагане на изучените вече теореми, с цел тяхното затвърждаване. Постепенно се дават по-сложни задачи с логически връзки, които все повече и повече усложняват решенията на задачите.

Петата стъпка съдържа поддържане на знанията чрез индивидуална работа. Нужно е преди това явно разделение на задачите за колективно решаване в клас и тези, които се дават за индивидуална работа (отново в час или за домашно). Именно при втория тип активно се включва и вече споменатото програмирано обучение. Целта на индивидуалните задачи е да може ученикът да формира умения за самостоятелна работа. Това е и най-трудната за приложение стъпка – обикновено слабите ученици я пропускат, а учителят има недостатъчно средства за контрол.

Шестата и последна стъпка от един урок е проверката на натрупаните знания и умения. В жаргона това се е утвърдило като „контролни“ и „класни“ работи в зависимост от сложността и количеството на материала. Дефакто обаче това може да е всякъкъв вид форма на изпитване – както писмена, така и устна. Важно е още от ранна възраст учениците да имат респект към изпитванията, понеже те са се оказали исторически и най-важното звено откъм мотивация за учене. С течение на времето добрите ученици би трябвало да отместват фокуса на интересите си от изпита към стремежа за добиване на нови знания.

Именно тази схема на преподаване от шест стъпки чрез уроци е най-добре известната на всички в последните години. При нея всеки учебен предмет е разделен на „n“ на брой урока U_i, всеки от който състоящ се от споменатите шест стъпки u_i1, u_i2, u_i3, u_i4, u_i5 и u_i6. Разлика има между училище и университетските курсове. В по-късните етапи на обучение последната шеста стъпка не се прави непосредствено след всеки урок, а в края на лекционния курс. С други думи в университета стъпките u_i6 за i=1,…,n се изпълняват накуп в края на обучителния период за дадения предмет.

Използвана литература: „Методика на обучение по математика – обща част, Благоевград, 2002г.“.

Нека дадено математическо понятие „покрива“ множество от обекти M. Ако напишем последователност от едно или повече изречения, чрез които описателно се задава подмножество R на M и се постави цел да се намерят обектите на това множество, то казваме, че тази последователност от думи се нарича „задача“.

Практиката е наложила всички задачи да следват еднотипна и ясна структура от няколко елемента:

1. Условие на задача: едно или повече изречения чрез които се задават описателно свойства на елементите от множеството R. Множеството М трябва да се зададе явно, освен ако не се подразбира (ако в даден урок се работи само с това множество, то ние няма нужда да го указваме всеки път);
2. Заключение на задача: ясно задаване на целта на задачата, т.е. посочването на обектите от множеството R;
3. Решение на задачата: дейността, чрез която чрез дедуктивни или пълни индуктивни разсъждения се посочват обектите от множеството R;
4. Отговор на задачата: кратко и ясно изброяване на обектите от множеството R.

Нека дадем няколко примера:

Пример 1: Да се намерят реалните корени на уравнението x² - 5x + 2=0

Тук множеството М е безкрайното множество на реалните числа. Множеството R се състои от подмножество на реалните числа, а именно корените на уравнението. Заключението на задачата явно указва, че тези корени трябва да бъдат намерени и посочени.

Пример 2: Да се реши уравнението 4x + 2 = 2.(x + 1) + 2x

Тук множеството M не е явно посочено, но учениците обикновено го знаят с кои числа работят в дадения урок. Множеството R както ще видите е безкрайно множество (решенито на задачата е 0x=0 и отговорът е „всяко x е решение“), т.е. множеството R съвпада с цялото множество M.

Пример 3: Да се реши уравнението 2x + 3 = 2.(x+1)

В тази задача отново множеството М не е зададено явно. Множеството R пък е празното множество (защото решението на задачата е 0x = 2 и отговорът е „няма решение“).

Пример 4: Даден е триъгълник със страни 3, 4 и 5 сантиметра. Намерете лицето на триъгълника.

Отново множеството М не е зададено явно, но се подразбира, че е множеството на реалните числа. Множеството R е с обем едно число, което е лицето на дадения триъгълник.

Пример 5: Да се построи триъгълник по дадена страна 5 см., ъгъл срещу нея 30 градуса и радиус на вписаната окръжност 3 см.

Множеството R е подмножество на множеството М от всички тройки неконелиарни точки в равнината (върхове на триъгълници).

Особено внимание естествено се обръща на решението на задачите. Както споменахме по-рано, то трябва да се състои от последователност на дедуктивни или пълни индуктивни разсъждения. Стандартно задачата се решава по схемата на синтез (от свойствата дадени в условието към търсене на отговора). Когато обаче в условието на задачата е зададен и нейният отговор (това са задачите, в които заключението започва с „докажете, че“), то могат да се използват схемите на анализ на Пап или Евклид (от отговора към свойствата дадени в условието).

Спомената последователност от разсъждения в решението на задачата естествено са краен брой. Те трябва да са възможно най-прости „стъпки“ в решението на задачата и трябва да се базират на верни умозаключения.

Тук идва и времето да се покаже разликата между задачите и теоремите. Не случайно при дефиницията на теоремите споменахме „знакови задачи“. Ако една задача се отнася към целия обем от обекти на понятието, за което се отнася, то можем да кажем, че тя е потенциална теорема. Именно чрез научно-познавателния метод „обобщение“ може тази задача да бъде формулирана като теорема. Така и разграничаваме задачите от теоремите – задачите обикновено се отнасят към крайни подмножества от обекти, а теоремите към всички обекти на понятията с които работят.

Множеството R от обекти за дадена задача само по себе си обикновено не е понятие за разлика от множеството M. Когато обаче дефинираме понятие, чийто обем е множеството R, то ние спокойно можем да кажем, че задачата се е превърнала в теорема спрямо нововъведеното понятие. Именно по този начин с времето чрез определени задачи са въвеждани нови понятия, а самите задачи – обобщавани като теореми.

Колкото повече се развива математиката, толкова повече понятията се подреждат в строга структура. Така теоремите се явяват основно средство за фиксиране на знания, а задачите за упражнение на добити знания или евристика за достигане до обобщени задачи, т.е. научаване на нови теореми. В по-ранното развитие на математиката не е било така – задачите са били основното средство за фиксиране на знания, защото обемите на понятията все още не са били фиксирани строго.

С казаното дотук можем да обобщим, че задачите са основно дидактическо средство в математиката. Основно се счита, че задачите имат четири функции:

1. Обучаващи: развиват евристичните способности на учениците, с цел достигане до обобщение на теорема;
2. Развиващи: поддържат и затвърждават знанията придобити от теоремите;
3. Контролни: задачите се явяват много удобно средство за проверка на знанията;
4. Възпитателни: развиват научен мироглед и трудови навици.

Не трябва да забравяме и може би най-важната роля на някои от задачите, а именно – да моделират практически проблеми. Експериментите обикновено са именно модели, които свързват науката с практиката.

За статията са използвани материали предимно от книгата „Методика на обучение по математика – обща част“, Благоевград 2002г.

Тези задачи обаче се срещат много по-рядко в училищните програми. Причините са ясни – тъй или иначе задачите с използване на индукция са достатъчно трудни за учениците. Затова индукция с база различна от 1 се показва само на по-талантливите ученици.

Нека разгледаме няколко примерни задачи:

Зад. 1. Да се докаже, че за всяко естествено число n>2 e вярно неравенството 2ⁿ > 2n + 1.

Зад. 2. Да се докаже, че за всяко естествено число n>3 e вярно неравенството 2ⁿ > 2n + 5.

Доказателството на индукционната хипотеза на тези задачи не е толкова тривиално, колкото при показаните в предишната статия за индукция с база 1. Затова обикновено показваме само графично решение на задачата  и не даваме строго такова. Графичното решение се изразява в това да представим изразите от двете страни на неравенството като функции f(x) и g(x) и да покажем, че графиката на f(x) е винаги „отгоре“ над графиката на g(x) след определена стойност x=a (и естествено именно a ще съвпадне с базата на индукцията). Ето например графиката на функциите от задача 1:

Именно в тези задачи (с неравенства) можем да накараме учениците да преоткриват индукционната хипотеза. Например:

Зад. 3. Да намери за кои цели положителни числа n е вярно неравенството 2ⁿ > n²

Тук трябва да направим именно графиките на функциите и чрез тях едновременно да открием базата и да покажем графично решението на индукционната хипотеза.

Има и задачи с рекурентна зависимост на n-тия член към повече от един предходни члена. Така получаваме двойна или по-голяма база на индукцията. Например задачата:

Зад. 4. Дадена е числовата редица a_n = 4.a_n-1 – 3.a_n-2. Ако a₁ = 3, а a₂ = 9 докажете, че за всяко n => a_n = 3ⁿ.

Решение: Проверка на индукционната база:

a₁ = 3 = 3¹ – вярно
a₁ = 9 = 3² – вярно
=> базата е вярна.

Доказателство на индукционната хипотеза:

Приемаме, че твърдението е вярно за k-1 и k-2, т.е.

a_k-1 = 3^k-1 и a_k-2 = 3^k-2

Тогава знаем, че:

a_k = 4.a_k-1 – 3.a_k-2 = 4.3^k-1 – 3.3^k-2 = 4.3^k-1 – 3^k-1 = 3^k-1.(4-1) = 3.3^k-1 = 3^k

=> индукционната хипотеза е вярна.

Накрая само ще споменем за най-трудните задачи свързани с математическата индукция. Това са задачите, в които трябва да се открие индукционната хипотеза. При тях твърдението, което трябва да се докаже не е дадено в условието на задачата. Това обикновено са много трудни задачи, с които се справят само по-добрите ученици. Ето няколко примера:

Зад. 5. Намерете на колко е равна сумата 1 + 2 + 3 + … + n

Зад. 6. Намерете на колко е равна сумата 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1)

Зад. 7. Намерете на колко е равна сумата 1/(1.2)  + 1/(2.3) + 1/(3.4) + … + 1/((n-1).n)

Задачите от примерите са взети от книгата „Методика на обучението по математика (обща част), Благоевград 2002″.

1. Единичният елемент 1ЄN;
2. За всяко xЄN съществува еднозначно определен елемент x’ЄN наречен „наследник“;
3. x’≠1, т.е. единичният елемент няма наследник;
4. Ако за xЄN и yЄN e вярно, че x’ = y’, то x = y;
5. Ако едно множество M, което е подмножество на N, удовлетворява условията:
   - 1ЄM;
   - за всяко xЄM => x’ЄM,
   то M = N (аксиома за математическата индукция).

На базата на петата аксиома се формулира и т.нар. „принцип на математическата индукция“. Той се базира на доказване на твърдение P, зависещо от естествен параметър x, т.е. на твърдение P(x). Принципът може да се разгледа чрез следния запис:

P(1) ^ (P(k) -> P(k+1)) -> P(n), за всяко nЄN. (*)

Типичната употреба е за това да се покаже, че едно твърдение е вярно за всички естествени числа. Ето и най-тривиалният пример:

Зад. 1. Докажете, че всяко nЄN е вярно твърдението, че 1+2+3+…+n = n(n+1)/2

Доказателството на задачи използващи математическа индукция протича в две стъпки. В първата стъпка се доказва, че е вярна т.нар. „база“ на индукцията, т.е. трябва да докажем, че е вярно първото твърдение от конюнкцията в (*), а именно P(1). Ето как става това в задача 1:

Решение на зад. 1. Проверяваме дали уравнението е вярно за n=1: 1 = 1*2/2. Базата е потвърдена!

Следва проверка на второто твърдение от конюнкцията в (*), а именно P(k) -> P(k+1):

Допускаме, че уравнението е вярно за kЄN, т.е.

1+2+3+…+k = k.(k+1)/2

Добавяме от двете страни на равенството (k+1), с което по вече позната теорема равенството не се променя:

1+2+3+…+k+(k+1) = (k+1) + k.(k+1)/2

но (k+1) + k.(k+1)/2 = (k+1).(1+k/2) = (k+1).(k+2)/2 = (k+1).((k+1)+1)/2

=> 1+2+3+…+k+(k+1) = (k+1).((k+1)+1)/2

От това, че сме проверили базата (P(1) е вярно) и сме доказали индукционната стъпка (P(k) -> P(k+1)), то по аксиомата приемаме, че твърдението (P(n)) е вярно за всяко nЄN.

Важно е още в самото начало да отбележим, че методът на математическата индукция НЕ е индуктивен метод. Той се основава изцяло на дедуктивни заключения. Припомняме, че индуктивните методи правят заключение за цялото множество на базата на негово подмножество. При математическата индукция ние правим заключението върху цялото множество, т.е. така наречената „пълна индукция“.

Математическата индукция е много сложна за усвояване от ученици, а дори и от студенти. Главната причина за това е сложната логическа структура на доказателството. Обикновено в училище не се набляга на задачи използващи математическа индукция, а за тях се дава само обща представа. Изключение правят подготовките с талантливи ученици за математическа олимпиада.

Втората причина е, че системите от аксиоми на Пеано не се дават в явен вид на учениците. Учениците в средния курс на обучение не се запознават с дефинициите на аксиоми, а ги използват подсъзнателно като нещо естествено. Практиката е показала, че в училищния курс по математика е добре аксиомите да се споменават само тогава, когато са нужни, но не и да се структурират предварително преди излагането на останалата теория. Причината е, че при учениците е трудно да се мотивира въвеждане на знание от което не се вижда веднага пряко приложение.

В университетските курсове, когато учениците са „отсяти“ и са достигнали високо ниво на мотивация вече материала се поднася по друг принцип, а именно – теорията се изгражда като се започне именно от аксиомите и първичните понятия. Затова и принципите на математическата индукция се разглеждат строго именно в курсовете по математика във висшето образование.

Все пак дори в училище можем сравнително лесно да мотивираме учениците „да преоткриват“ методите на математическата индукция. Това става като се направят няколко последователни експеримента (проверки) и накрая се стигне до научно-познавателния метод „обобщение“. Ето как можем да го направим например със задача:

Зад. 2. Да се докаже, че за всяко nЄN е вярно равенството:
1 + 3 + 5 + … + (2n-3) + (2n-1) = n²

При сблъскване за първи път с подобна задача учениците няма да се досетят за проверка на базата. Без да им споменаваме за нея ние можем да мотивираме тази стъпка, като им кажем „нека направим проверка за няколко числа и да видим дали е вярно – да започнем с най-малкото, т.е. 1„.

Така последователно проверяваме няколко твърдения: P(1), P(2), P(3), и т.н. Именно така учениците вече се убеждават, че твърдението е вярно за всяко число и непременно някои от тях дори ще твърдят, че задачата е решеня. Тук вече учителя трябва да изиска все пак да се направи проверка за всички числа. Така учениците сами ще преоткрият ново затруднение – числата са безкрайно много, т.е. са нужни безкраен брой проверки. Така идва момента за „разкриване на тайната“, като учителят казва „Да речем, че сме направили няколко проверки (а ние сме), които са „k“ на брой. Ако ние успеем да докажем, че то е вярно и за k+1, то от k+1 ще докажем за k+2, от k+2 ще е вярно за k+3 и така до безкрайност„. Така се стига и до втората стъпка от решението:

Примаме, че е вярно за k:

1 + 3 + 5 + … + (2k-3) + (2k-1) = k²

Добавяме от двете страни на равенството следващото число 2k+1:

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + (2k+1)

Но k²+ (2k+1) = (k+1)²

Следователно 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)²,

тоест доказахме, че от това, че е вярно k следва, че е вярно и за k+1.

Можем да мотивираме индукционната хипотеза и с физичен пример – т.нар. „ефект на доминото“. При него ако наредим блокчета домино вертикално едно до друго в редичка и бутнем първото, то ще бутне второто. Да, но второто ще бутне третото. Третото пък ще бутне четвъртото. Ако приемем, че е бутнато „k“-тото, то ще сме сигурни, че то ще бутне и „k+1″-вото. И все пак бъдете внимателни с подобни физични примери – все пак те са върху крайни множества (няма безкрайна редичка домино), а в математическата индукция работим с безкрайно.

Имайте в предвид, че е напълно нормално някои от по-слабите ученици въобще да не успеят да усвоят логиката от самото начало. При тях нещата се въвеждат догматично (като процедура, която да следват) и трябва да им се дадат повече еднотипни задачи за упражнение, за да могат постепенно да осъзнаят логиката на стъпките.

Много бързо след започване на решаване на задачите обаче, ще забележите, че учениците няма да са осъзнали защо се прави проверка на базата (n=1). Единствения начин да се мотивира това е чрез очевидни контра примери, в които индукционната стъпка може да се докаже, но базата не е вярна. Ето два примера:

Зад. 3. Вярно ли е, че за всяко xЄN => x = x+1

Всички ученици веднага ще кажат, че това не е вярно, а то и очевидно не е. Учителят обаче ще настоява да покаже доказателство, а именно:

Приемаме, че равенството е вярно за k, т.е.:

k = k+1

Добавяме от двете страни на равенството числото 1, с което то не се променя:

k+1 = k+1 + 1

=> k+1 = k+2

=> индукционната стъпка е доказана.

Именно тук показваме на учениците явно необходимостта от първата стъпка (проверка на базата), защото ще покажем, че:

В началото на задачата приехме, че равенството е вярно за k. Защо обаче сме убедени, че сме приели нещо правилно? Нека проверим при най-малкото възможно число, т.е. k=1:

1 = 1+1

Това очевидно не е вярно, т.е. ние сме приели погрешна индукционна хипотеза.

Друг подобен пример, но не чак толкова очевиден за учениците е:

Зад. 4. Вярно ли е, че 2+2²+2³+…+2ⁿ = 2ⁿ⁺¹

Ще видите, че при проверка базата не е вярна (2 не е равно на 4).

Важно е на по-късен етап (след като процедурата е добре изучена и утвърдена) да се покаже и разликата между „пълна“ и „непълна“ индукция. Така ще покажем на учениците, които все още не са убедени в нуждата от доказване на индукционната хипотеза, че тя е изключително нужна. Тоест трябва да им покажем примери, в които от това, че едно твърдение е вярно за n=1,2,3,4,…, то не е задължително то да е вярно за всяко n. Най-подходящи примери се оказват няколко примера от историята с предположения за простите числа.

Пример 1. Ферма предположил, че 2²ⁿ+1 е просто число. Това е вярно за n=1, 2, 3 и 4, но не е вярно за n=5.

Пример 2. Ойлер доказал, че n²+n+41 е просто число за всяко n<40. При n=40 обаче не е!

Пример 3. Сборът 991.n²+1 не е точен квадрат за всички числа до… n=12055735790331359447442538767

Затова и мотивираме нуждата от дедуктивната структура на доказването на индуктивната хипотеза, т.е. да бъдем убедени, че при колкото и да е голямо число n твърдението да е вярно, то винаги е вярно и при n+1.

Ето няколко задачи за упражнение на математическа индукция:

Зад. 5. Докажете, че 1.2.3 + 2.3.4 + … + n.(n+1).(n+2) = n.(n+1).(n+2).(n+3)/4

Зад. 6. Докажете, че 1² + 3² + 5² + … + (2n-1)² = n.(2n-1).(2n+1)/3

Зад. 7. Докажете, че 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + … + n.(n+1) = n.(n+1).(n+2)/3

Зад. 8. Да се докаже, че за всяко естествено число n е вярно, че 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ се дели на 133

Зад. 9. Да се докаже, че за всяко естествено число n е вярно, че 2²ⁿ + 15n – 1 се дели на 9

Зад. 10. Да се докаже, че за всяко естествено число n е вярно, че 2ⁿ⁺².3n+ 5n – 4 се дели на 25

Задачите от примерите са взети от книгата „Методика на обучението по математика (обща част), Благоевград 2002″.

Когато става дума за разрешаване на вече известни проблеми, основна роля играе систематизирането на натрупана информация от страна на науката. Именно класифицирането и поддържането на бази от типови задачи и техните типови решения ни дават възможност да използваме едно и също решение за различни видове задачи. Един много добър пример за това, даден от проф. Иван Ганчев е, че когато един дърворезбар има нужда от пила той си я купува. Следващия път когато той срещне същия практически проблем той няма да си купи нова пила – той ще използва старата. Така се получава използване на един инструмент множество пъти. Именно това прави науката със своите теореми – всяка от тях се използва множество пъти и няма нужда да бъде доказвана отново и отново.

Важна в случая е връзката между наука и практика. Дори неосъзнато дърворезбаря от примера се обръща именно към науката в момента, в който той трябва да си избере подходящата пила. Натрупаните научни знания от предходните поколения се предават към по-новите и така майсторът няма нужда да прави проби и грешки докато намери най-подходящия инструмент – той ще си купи директно този, за който самият той вече е научил, че е подходящ. От друга страна науката непрекъснато се захранва с нови знания и споменатите нови решения на съществуващи проблеми. По този начин имаме шанс да предлагаме все по-добри и по-качествени инструменти на майсторите.

По-интересно обаче стои въпроса за намиране на решения на нови проблеми. Такива естествено възникват непрекъснато. Стандартния подход, към който обикновено се насочва човек, е да търси решение на новите практически проблеми на методът „проба-грешка“. Човек обикновено се стреми да прави аналогии с други подобни практически проблеми с които вече се е сблъсквал и се опитва да приложи техните решения при новия. Често решения се намират по този начин, но почти никога не са най-добрите възможни.

По-добрият начин за разрешаване на нов проблем е именно научния поглед към практическата задача. Дали ще се направи матечатически, физичен, химичен, смесен или друг модел зависи от конкретната ситуация. Решавайки научно така създадената задача, вече е значително по-лесно да достигнем до най-доброто практическо решение. Най-ясно това може да се види на следната графика:

Почти същата графика, но в частност за науката математика, е дадена в монографията на проф. Иван Ганчев от 1995г. Тя изглежда подобна на тази:

Въпреки, че не е изрично указано в графиката, в този модел всъщност се включва и казаното в началото на статията за натрупването на информация. Именно в клетката на науката се пази споменатата база от абстрактни проблеми и техните решения. Така търсенето на готови решения и търсенето на нови попадат в един и същи модел на взаимоотношение между наука и практика.

Трябва също да се спомене, че самото понятие „Наука“ включва в себе си също сложна графика на взаимоотношения. Има различни науки и те черпят опит помежду си. Ето как например нерядко науката математика се обръща за помощ към информатиката за намиране на решение на математическа задача:

Само ще вметнем, че точно при този конкретен модел се правят най-чести грешки от страна на информатиците. Обикновено информатиците са и добри математици. Затова при достигане на практически проблем, който има нужда да премине по тази графика, често задачата се решава директно от информатици – те едновременно съставят и математическия и компютърния модел. Традиционната грешка, която се прави е, че след намиране на решение от страна на компютъра то бива прилатано директно като решение на практическия проблем. Анализ на такива ситуации досега показва, че много често решенията намерени от компютър са непълни и неизчерпателни. Липсата на математическо обобщение на резултатите често води до взимане на неточни и понякога дори грешни решения. Затова преминаването през стъпката на математическо решение е важно, дори тя да ни се струва тривиална. Това важи за всички модели на взаимоотношения между всички науки – не трябва да се прескачат стъпки в процеса.

Накрая трябва да се спрем и на обратния процес – решението на научни проблеми чрез черпене на практически опит. Въпреки, че това е значително по-рядко срещания модел на взаимодействие, той е също често употребяван. Ето как изглежда схематично:

Обикновено подобни решения на проблеми се търсят тогава, когато науката е безсилна да намери унифицирано решение. Например нямаме формула за намиране на прости числа – единствения начин науката да намери и натрупа като знание нови такива е да се правят постоянни чисто практически сметки за търсене.

В науката обаче се породи и едно ново явление – та започна да се занимава и с чисто абстрактни проблеми, които нямат директна връзка с практиката. Особено силно изразено се среща това в математиката, където можете видите много задачи, които нямат засега видимо приложение в реалния свят. Това са т.нар. „върхове на науката“ – място за изява на най-добрите специалисти и учени. В тези случаи казваме, че „науката е изпреварила практиката“. Естествено това никак не е лошо – при възникване в бъдеще на нов практически проблем ние ще имаме вече потенциално готови решения.

Болшинството учебници по методика но обучение дефинират теоремите като „вярни твърдения, които трябва да бъдат доказани“. Някои пък определят теоремите като „знакови задачи“. Най-общо има два вида теореми:

1. Теореми-свойства: добавян нови свойства към обема на понятието, което засягат. Тези теореми дават т.нар. „необходими условия“;
2. Теореми-признаци: това са твърденията, които се изказват чрез импликация (ако-то). Тези теореми дават т.нар. „достатъчни условия“.

Теоремите-свойства се прилагат тогава, когато имаме обект от определен вид. Теоремите-признаци пък се прилагат тогава, когато искаме да докажем, че даден обект е от определен вид.

Възможно е теореми-свойства и теореми-признаци да бъдат обединявани в една обща теорема. Това се получава когато използваме словосъчетанието „тогава и само тогава когато“, т.е. използваме равнозначност. Казваме, че такива теореми дават „необходими и достатъчни условия“. Формално можем да наречем тези теореми като „смесен тип“. Попринцип не е добре да бъдат използвани защото са неудобни – усложняват логиката. По-добре е да бъдат разбивани на две части.

Всяка теорема е свойство на понятието от условието и признак на понятието от заключението си. Например нека имаме следната теорема:

(Т) Ако един четириъгълник е успоредник, то две по две срещуположните му страни са равни.

Условието е четириъгълникът да е успоредник, а заключението е, че срещуположните страни му са равни. Така основното понятие в условието е „успоредник“ и теоремата е свойство на успоредника. В същото време теоремата е признак за равността на спещуположните страни. Така можем да заключим, че теоремите-свойства и теоремите-признаци изразяват „двуличност“.

Най-важното нещо след изказването и доказването на една теорема е да се направи извод „за какво може да бъде използвана“. Така се изяснява именно „свойство на какво е“ и „признак за какво“ е тя. Именно това пояснение помага на учениците на да разберат и запомнят теоремата. С цел да подпомогнем ефекта на „досещането“ у човека, трябва също така да направим връзка с други сходни теореми и да ги присъединяваме в множества

Когато подреждаме теоремите трябва да ги систематизираме по техните признаци и свойства. Например всички теореми свързани с успоредник могат да бъдат систематизирани в едно множество „теореми за успоредник“. Не би било полезно да ги смесваме заедно с теоремите за триъгълник.

Необходимо е по време на решаване на задачи да се позоваваме на теоремите и да ги припомняме винаги когато има нужда. Освен това задачите трябва да са разпределени така, че да упражняват всяка една теорема равностойно. Това се нарича „схема на съвършения анализ“. Упражняването на прилагане на теорема чрез задачи е задължително – в противен случай се губи основното й свойство, а именно – да бъде „знакова задача“ на която се позовават други.

Така забелязваме, че теоремите са едно изключително удобно средство за „икономия на труд“. Когато докажем нещо в една задача и срещнем абсолютно същото в друга – ние не го доказваме, а го използваме наготово. Можем веднага да си направим аналогия с правото в САЩ, което е направено на базата на „прецеденти“ – когато едно дело вече е било свършило и се появи аналогичен случай, то съдията се позовава на първото (прецедент) и взима същото решение за второто.

В заключение ще кажа, че теоремите са инструмент, който може да бъде използван и в други сфери освен математиката. Така например в биологията различните биологични видове се класифицират по техни общи свойства. Там също има твърдения за тези класове от биологични видове, които спокойно можем да определим като теореми. Казва се, че колкото „по-точна“ е дадена наука, толкова по-лесно може да бъде систематизирана чрез теореми.

Ето един прост пример:

Твърдение: „Триъгълник има страни 3, 4 и 5см. Докажете, че е правоъгълен„.

Тук е лесно да използваме вече приетото за вярно твърдение „Питагорова теорема“ и нейните следствия, за да докажем, че твърдението от примера е вярно. Така използваме едно твърдение за следствие на друго и имаме именно дедуктивно умозаключение „Питагоровата теорема е вярна и страните на този триъгълник я удовлетворяват, следователно горното твърдение е вярно„.

Когато имаме задача с отворен отговор, то нещата стават по-сложни. Те отново се свеждат до правене на умозаключения, но вече имаме две стъпки в решението на задачата:

1. Търсене на решения – т.е. съставяме поредица от едно или повече твърдения;
2. Доказателство, че намерените решения са вярни, т.е. правене на умозаключение, че съставените твърдения са вярни.

Често втората стъпка е съвсем тривиална и се пропуска. Например когато решаваме задача по схемата на Пап или синтез, то ние винаги знаем, че достигнатото твърдение е вярно. Да, но дори това само по себе си е умозаключение! Затова втората стъпка съществува, дори когато не я изказваме явно. При решаване на задачи по схемата на Евклид ние винаги правим втората стъпка – тя е именно проверката дали намереното решение удовлетворява условието на задачата.

Ще дам един пример за задача, в която ние обикновено пропускаме стъпката с доказателството:

Зад. Нека x+1 = 2. Намерете x.

Решение: Изваждаме 1 от двете страни на равенството, с което то не се променя
=> x+1-1 = 2-1
=> x = 1

Използвали сме решение по схемата на синтез (от условието към решението) като сме стъпили върху три приети за вярни твърдения:

1. Ако извадим число от двете страни на едно равенство, то не се променя;
2. 2-1 = 1
3. 1-1 = 0

Именно на базата на тези три твърдения сме формирали нашето умозаключение, а именно „трите твърдения са вярни, следователно x = 1 е вярно„. Струва ни се съвсем логично да не правим проверка, т.е. доказателство, че твърдението ни е вярно. В такива задачи обаче се казва, че ние всъщност просто сме пропуснали доказателството, т.е. не сме решили задачата докрай. Това е така, понеже знаем, че доказването е прекалено тривиално и се опитваме да спестим време. Ще се убедите обаче, че при по-сложни задачи нуждата от доказателство става все по-нужна. Затова аз лично съм привърженик на това да караме учениците колкото се може по-често да правят проверка на намерените резултати.

Доста удобни за показване на нуждата от тази двустъпкова система на решение на задачи са оптимизационните задачи. В тях има много решения, от които ние търсим само екстремалните. Така например ако имаме един граф, в който всяко ребро има дадена „тежест“, то бихме направили т.нар. транспортна задача – търсим такъв маршрут, че да минем през всички върхове на графа, но да сме натрупали минимална сума от тежестите на ребрата. Ясно е, че в зависимост от графа можем да имаме огромно множество от пътища, които обхождат всички върхове. Ако позволим да минаваме повече от веднъж по дадено ребро, то може да се получат „цикли“ и всъщност решенията да станат безкрайно много. Само едно или няколко от тях обаче водят наистина до минимална тежест, т.е. те са т.нар. екстремални решения. Е в такава задача много ясно се вижда как трябва да процедираме:

1. Обхождаме графа и намираме всички възможни пътища, които не са резултат от цикъл. След това изваждаме от множеството пътища тези с най-малка натрупана тежест и твърдим, че са решения;
2. Доказваме, че намерените решения са вярни и доказваме, че пътищата, които са резултат от цикъл са винаги с по-голяма тежест по-големи от тах.

Виждаме едно ясно разделение в двата етапа – търсене на решения и доказването им. За намирането на всички възможни решения без цикъл използваме дедуктивен метод. За доказателството, че решенията с цикъл не могат да бъдат минимални, използваме задължително индукция, защото работим с безкрайно множество.

Рядко, но се появяват и задачи с обратен подход. Те следват принципа:

1. Доказателство, че задачата има поне едно конкретно решение;
2. Намиране на едно такова конкретно решение.

Този случай е изключително рядък и обикновено пак се използва за екстремални задачи. Обикновено с индуктивни методи първо правим теоретична оценка на задачата и успяваме да докажем твърдението, че всички възможни решения са в дадени граници. После търсим поне едно такова гранично решение, което даваме като отговор. В такива задачи обикновено не се търси пълно изчерпване на решенията. Използват се, за да се спестят операции и да можем да извършваме изчисленията по-бързо.

В заключение ще кажа, че както се вижда от по-горе задачите с условия „докажете…“ са частен случай на задачите с условия „намерете…“. При първите ни е дадено готово твърдение, което трябва да докажем, че е вярно. При вторите се търси съставяне на такова твърдение, което също трябва да докажем, че е вярно. Не винаги обаче е възможно да преобразуваме и усложним задача от тип „докажете…“ в „намерете…“. Често ни се налага да насочваме учениците към конкретното решение на задачата. Силен пример за това са теоремите, за които ще пиша по-късно.

Деф. Казва се, че от съжденията p₁, p₂, p₃,… p_n следва съждението q, тогава и само тогава когато щом (p₁^p₂^p₃^…^p_n) е вярно, то непременно q е вярно.

Деф. „Умозаключение“ наричаме съждение, което следва от предишни приети за вярни съждения.

Тъй като умозаключението само по себе си е съждение, то става ясно, че едно умозаключение също може да бъде вярно или грешно. Ще го демонстрираме с няколко примера:

1. (p ->q)^p => q (модус поленс);
2. (p->q)^!q => !p (модус толенс);
3. (p->p₁)^(p₁ ->p₂)^…^(p_n->q)^p => q (хипотетичен силогизъм).

Пример за модус поленс е следното:

„Ако е 26.03, то Филип има рожден ден“ е вярно. Днес е 26.03 – следователно Филип има рожден ден!“

Пример за модус толенс е:

„Ако е 26.03, то Филип има рожден ден“ е вярно. Днес НЕ е 26.03 – следователно Филип НЯМА рожден ден!“

Естествено никой не ни ограничава да направим и грешни умозаключения. Например най-често срещаното е „(p->q)^q => p“. В обучението ние се опитваме да научим учениците именно да НЕ правят грешни или не винаги вярни умозаключения. Можете да проверявате умозаключенията във верностната таблица.

Ясно е, че комбинациите конюнкция, дизюнкция, импликация, равнозначност и отрицание между различни съждения могат да пораждат много различни умозаключения. Най общо обаче разделяме умозаключенията на четири вида:

1. Индуктивни: По общо свойство на част от елементите на множество М ние правим заключение, че всички елементи на множеството имат това свойство;
2. Дедуктивни: По общо свойство на всички елементи на множество М ние правим заключение, че конкретен елемент от М притежава това свойство;
3. Абдуктивни: Правене на заключение за конкретен елемент от множеството М, при направени заключения за други елементи от М;
4. Аналогия: При наличието на съвпадени на всички от изследвано количество свойства на две множества M и N ние правим заключение, че всички свойства на множествата съвпадат.

Индуктивните умозаключения биват два вида – пълни и непълни. Пълна е индукцията, при която заключението е проверено върху всички елементи на множеството – в този случай ние сме проверили вярността на умозаключението си и то е гарантирано вярно. Непълна е индукцията, при която заключението не е проверено върху всички елементи – причина за това може да бъде прекалено голямо количество елементи или множество с безкрайно много елементи. В случай на непълно индуктивно умозаключение ние обикновено приемаме твърдението си за вярно, но винаги има риск това да не е така.

В предишния пример (модус толенс, модус поленс и хипотетичен силогизъм) всички твърдения бяха дедуктивни. Това са „най-сигурните“ умозаключения, затова при взимането на важни решения обикновено се стремим да използваме дедукция. Така например е в правото – там се стремим да изследваме всички доказателства подробно, преди от тях да направим умозаключение за виновността на обвиняемия.

При абдуктивните умозаключения има висок риск от грешка. Например когато приемем твърдението „крушката не свети, когато няма ток“ за вярно и видим, че „една крушка не свети“, то не е задължително, че „няма ток“ – причината може да бъде съвсем друга! Затова трябва да избягваме абдуктивни умозаключения. По-добре е да кажем „ако няма ток, то крушката не свети“ и „ако жичката е прекъсната, то крушката не свети“ – така от тези две съждения можем да направим дедуктивно умозаключение, че „понеже крушката K не свети, то или жичката й е прекъсната, или няма ток“. В този смисъл можем да приемем абдукцията за непълна дедукция.

Същото е положението и при умозаключенията по аналогия. Например в два триъгълника елементите са дължините на страните и ъглите им – общо по 6 елемента за триъгълник. Ако сравним по един ъгъл и по една страна от триъгълниците и видим, че те са равни, то можем да направим умозаключение по аналогия, че и другите елементи са с равни мярки. Това обаче може и да НЕ е така – за еднаквост на триъгълници само една страна и ъгъл не са достатъчни условия. Затова умозаключенията по аналогия са „опасни“.

Трябва да се каже все пак, че аналогията при изоморфни множества винаги е вярна. Но дори множествата да НЕ са изоморфни, пак можем да използваме аналогията като допълнителен инструмент в обучението. Например можем да направим аналогия между теоремата за умножение на двете страни на равенство с число различно от нула и двете теореми за умножение на двете страни на неравенство с число различно от нула. Тази аналогия НЕ води до винаги вярни умозаключения, но все пак подпомага по-лесното усвояване на материала.

Най-често срещаните методи за борба с грешните или не напълно вярните умозаключения са:

1. Догматичен: Забраняваме нещо да се прави без за обясняване защо – например когато обясняваме на учениците в малките класове, че не трябва да се дели на нула;
2. Контра примери: Показване на частен случай, при който умозаключението НЕ е вярно – например от ax = b не винаги x = b/a;
3. Доказателство: Чрез позоваване на вярни твърдения, от които логически се извежда грешността на умозаключението – най-добрия метод.

В заключение – старайте се да използвате колкото се може повече дедуктивни, индуктивни и умозаключения с изоморфни аналогии. Винаги избягвайте абдуктивните и се отнасяйте с недоверие към умозаключенията по аналогия без изоморфни множества – тях използвайте само като помощно средство, но не ги използвайте за доказателства на твърдения!

След като вече се запознахме с множествата от понятия, то лесно можем да преминем в територията на съжденията. Добре е първо да дам обаче формална дефиниция:

Деф. „Съждение“ наричаме преценка за вярност на твърдение.

С други думи чрез съждения ние даваме отговор дали едно нещо е вярно или не е. Има три възможности за резултат от съждение – вярно, грешно и неопределено. Например от твърдението „небето е синьо“ ние можем да направим съждение, че е „вярно“. На твърдението „небето е червено“ ние правим съждение, че е „грешно“. На твърдението, че космосът е безкраен ние с досегашните си знания можем да направим съждение, че не се знае, т.е. е „неопределеност“. С други думи „неопределено“ е твърдението, за което нямаме достатъчно информация, за да направим съждение.

Някои твърдения зависят от параметри. Например „слънчево е“. Ако в момента е ден и няма облаци, то съждението за това твърдение ще е „вярно“. Ако обаче и нощ, то съждението за това твърдение ще е „грешно“. С други думи имаме параметри, чрез които достигаме до съждението – те са наличието на облаци и час от деня.

Съжденията върху прости твърдения са лесни. Когато имаме сложни твърдения, то съжденията върху тях наричаме „съставни“. Например твърдението „небето е синьо и морето е червено“ е връзка между две твърдения. Първото твърдение „небето е синьо“ води до съждение „вярно“, а за второто съждение „морето е червено“ ще направим съждение „грешно“. Ясно е, че за да направим общо съждение, то трябва да преценим какъв резултат дава съюза „и“. За целта е подходящо да използваме следната таблица:

В таблицата „1″ означава „вярно“, а „0″ означава „грешно“.

Виждаме, че вече имаме възможност да обобщаваме твърденията си, чрез конкретизиране на параметрите им. Например споменатото преди малко твърдение „слънчево е“ може да бъде обобщено като „ако е ден и няма облаци, то е слънчево“. Именно по този начин се формират теоремите, но за тях ще говорим в следваща статия.

Под конюнкция разбираме съюз „и“. От таблицата е вижда, че при съюз „и“ трябва или двете съждения да са с „вярно“, за да е вярно общото. Ако дори едно от съжденията е „грешно“, то общото съждение е „грешно“. В този смисъл съждението за твърдението „небето е синьо и морето е червено“ е „грешно“.

Под дизюнкция разбираме съюз „или“. При него е достатъчно само едното от двете съждения да е вярно, за да е вярно общото. Например „небето е синьо или морето е червено“ ще дъде съждение „вярно“, защото първото от двете „под-съждения“ е „вярно“.

Под импликация разбираме „ако-то“. Приема се, че p->q е грешно само когато p=1 и q=0 – във всички останали случаи е вярно. Тук ще трябва да се дадат повече примери, за да стане ясно какво се случва. Например нека имаме твърдението „Ако Иванчо обича Мария, то той ще й подари цветя“. Нека разгледаме възможните комбинации:

1. Иванчо обича Мария (съждение p = 1) и той й подари цветя (съждение q = 1), следователно общото съждение p->q е вярно;
2. Иванчо обича Мария (p = 1) и той НЕ подари цветя (q = 0), следователно общото съждение p->q е грешно;
3. Иванчо НЕ обича Мария (p = 0), следователно, независимо дали е подарил цветя (q = 1) или не (q = 0),  приемаме общото съждение за вярно.

Под равнозначност разбираме „тогава и само тогава“. Например „учениците са отличници тогава и само тогава когато взимат частни уроци“. Нека отново разгледаме възможностите:

1. Ако учениците са отличници (p=1) и взимат частни уроци (q=1), то съждението p<=>q е вярно;
2. Ако учениците са отличници (p=1), но някои от тях НЕ взимат частни уроци (q=0), то съждението е грешно;
3. Ако учениците взимат частни уроци (q=1), но някои от тях не са отличници (p=0), то съждението пак е грешно;
4. Ако учениците НЕ са отличници (p=0) и НЕ взимат частни уроци (q=0), то приемаме съждението за вярно.

В горните примери нарочно намесих един много важен момент при правенето на съждения. Забележете думите „някои от тях…“. С това подсказвам, че ако имаме изключение в твърдението, то това влияе съществено върху цялото съждение за него. Например нека имаме твърдението „хората в България са умни“. Ако имаме дори един единствен българин, който НЕ е умен, то сме длъжни да направим съждение „грешно“. Много е важно да запомните именно този принцип – той е основен. Например ако трябва да оцените твърдението „всички Марсенови числа са прости“ ще изпитате затруднение – Марсеновите числа са безкрайно много. За щастие е достатъчно да намерите само едно Марсеново число, което НЕ Е просто, за да докажете, че твърдението като цяло е грешно.

При отрицание нещата са очевидни. Ако кажем „небето НЕ е синьо“ то ние правим отрицание на твърдението „небето е синьо“. Понеже небето е синьо (p=1), то съждението за твърдението „небето не е синьо“ ще бъде грешно (!p=0).

След като разполагаме с този апарат, то вече сме готови да напишем няколко формули, които ще наречем „релации на еквивалентност“. Те са много, но най-основните са:

1. p ^ q <=> q ^ p
2. p U q <=> q U p
3. (p ^ q) ^ r <=> p ^ (q ^ r)
4. (p U q) U r <=> p U (q U r)
5. (p ^ q) U r <=> (p U r) ^ (q U r)
6. (p U q) ^ r <=> (p ^ r) U (q ^ r)
7. ! (!p) <=> p
8. p -> q <=> !p U q
9. !(p ^ q) <=> !p U !q
10. !(p U q) <=> !p ^ !q
11. p -> q <=> !q -> !p
12. p -> q <=> !q ^ p -> !p
13. p -> q <=> !q ^ p -> q
14. p -> q <=> !q ^ p -> 0

Тези релации лесно се доказват. Ето например как можем да докажем 11 (вие докажете останалите):

Можем да използваме тези релации на еквивалентност, за да преобразуваме изречения, като запазваме логическите връзки в тях. Например ако имаме твърдението:

„Ако депутатите са със свален имунитет, то могат да бъдат съдени“ (*).

Нека „депутатите са с имунитет“ е x, а „депутатите могат да бъдат съдени“ е y. Така съждението „депутатите са със свален имунитет“ ще бъде !x (с други думи „депутатите са със свален имунитет“ и „депутатите НЕ са с имунитет“ приемаме за еквивалентни). Следователно твърдението (*) се записва като:

!x -> y  (1)

От релациите за еквивалентност знаем, че p->q <=> !q -> !p. Така от (1) следва, че:

!x -> y <=> !y -> x

Нека сега преведем последното изречение !y -> x:

„Ако депутатите НЕ могат да бъдат съдени, то те са с имунитет“ (**)

Виждаме, че твърдението (*) и твърдението (**) са еквивалентни. Можем да използваме този принцип, за да решаваме или съставяме сложни логически задачи.

Много е важно да поставяме скобите правилно. В реалните изречения те са запетайките. Например нека дефинираме следните твърдения: „ако имам пари“ $, „ще си купя монитор“ p, „ще си купя принтер“ q и „ще си купя телевизор“ r, и нека образуваме следните изречения:

1. $ -> (p ^ q) U r;
2. $ -> p ^ (q U r).

Първото изречение се превежда като „ако имам пари, то ще си купя монитор и принтер, или телевизор„. Второто изречение е „ако имам пари, то ще си купя монитор, и принтер или телевизор„. Виждате, че границата е много тънка и трябва да се внимава. Ето какво се получава реално:

Нека имаме пари ($ = 1) и решим да спазим правилото, т.е. да направим така, че съждението да е вярно. При първият вариант ние имаме две възможности в повече – едната е, че можем да купим принтер и телевизор, а другата е, че можем да купим телевизор самостоятелно. Виждате, че само с разлика от една запетайка в обещанието си можете да се ограничите значително в правото си на избор.

А какво ще кажете за изречението без запетайка, т.е. „ако имам пари, то ще си купя монитор и принтер или телевизор„? Ясно е, че тук имаме възможност за „тълкуване“, т.е. да спорим къде да поставим запетайката.

Сега си представете ситуация, в която сте се забъркали в някоя каша и в съда от подобно записано в закона изречение зависи това дали да бъдете осъден или не. Една малка запетайка може да обърка вашата съдба. Именно магистратите се натъкват често на подобни беди и затова няма как да не сте чували фразата „тълкуване на закона“. Истината е, че ако законите минаваха през стриктното одобрение на един такъв логически апарат за съждения, то наистина щяха да бъдат еднозначни и нямаше да има нужда от „тълкуването“ им.

За финал нека пак се върнем малко назад с примера на твърдението „българите са умни“, което нека оценяваме със съждение p. Ако хората с български паспорти са „n“ на брой, то можем спокойно да си дефинираме твърденията „българинът k е умен“, които ще оценим със съждения pk. Сега да погледнем съдържанието на понятието „българите“ – то включва в себе си именно тези обекти хора, които са обединени чрез една конюнкция и тя е връзката между тях, че имат български паспорт. От тук можем да изведем следната еквивалентност:

p <=> p1^p2^…^pn

От дясната страна на тази еквивалентност ако намерим поне един българин с пореден номер i, който оценим, че не е умен, т.е. pi = 0, то от там цялата поредица от дизюнкции ще бъде 0. Тъй като имаме равнозначност, съждението p също ще бъде 0. С други думи ако намерите дори само един българин, за който кажете, че не е умен (а аз съм напълно убеден, че ще намерите такъв), то цялото съждение „българите са умни“ ще даде резултат „грешно“. За щастие това НЕ означава, че „българите не са умни“. Защо?

Когато едно понятие P1 с обем V1 съдържа в себе си всички свойства на понятие P2 с обем V2, то ще казваме, че P2 е подмножество на P1 и ще бележим, че V2 V1. Ще казваме, че P2 е видово на P1, а P1 е родово на P2. Например правоъгълникът е родов за квадрата, а квадратът е видов за правоъгълника.

Определенията и дефинициите обикновено следват последователността от род към вид. Това е съвсем нормално – обикновено дефинираме едно голямото множество (род), а след това разглеждаме конкретни негови частни случаи (видове). Например дефиницията „правоъгълникът е успоредник, чийто ъгли са прави“ е точно такава. Вече сме дефинирали рода „успоредник“ и чрез него определяме конкретен вид „правоъгълник“.

Много по-рядко се вижда обратното – дефиниция от вид към род. Например дефиницията, че цилиндър може да се получи чрез въртене на правоъгълник около една от страните му. Това са нетраниционни дефиниции.

В миналата тема засегнах едно основно правило за дефиниция, а именно:

Всеки един обект или понятие трябва да бъде дефиниран
чрез използването на вече познати обекти и/или понятия!

Тук ще разширя правилата, като допълня с още:

1. При дефинициите не трябва да се получава цикличност, т.е. ако за дефинирането на понятие P1 използваме P2, за дефиниране на P2 използваме P3, а за дефиниране на P3 използваме P1. В още по-прост пример когато попитаме „какво е пръчка“ да отговорим „парче дърво“, а като попитаме „какво е парче дърво“ да отговорим с „пръчка“. Такива ситуации трябва да се избягват напълно;
2. При дефиницията да се използват минимално количество свойства на обекта, които са достатъчни да го определят напълно;
3. Ако имаме дефиниция от род към вид, то да използваме най-близкия до вида род.

Може би четейки основното правило за дефиниция вече съзряхте един голям проблем – щом за да дефинираме едно понятие трябва да използваме вече преди това дефинирани понятия, то не се ли получава безкрайност? Ами да, истината е, че се получава. За да дефинираме „ротвайлер“ ние обясняваме, че това е порода куче. Преди това е трябвало да дефинираме „куче“ и сме казали, че това е „бозайник“ с определени характеристики. Така се налага да дефинираме „бозайник“, „животно“, „живо същество“, „организъм“, „многоклетъчно“ и т.н. Ами помислете – всяка една дума, която използваме в дефиницията трябва да бъде позната, т.е. дефинирана. Не се ли получава парадокс?

Решението на този проблем идва по два начина. Ако обекта или понятието са реални, то крайната дефиниция е чрез директно посочване. Ако обекта или понятието са абстрактни, то се използват аксиоми. Понякога се налага да използваме и точно това, за което казах, че е вредно за обучението – догматичност. Все пак това е нужно, за да не изпадаме в безкрайни дефиниции. Важното е да сме достатъчно убедителни и да успеем да поставим нужния базис, който да бъде логично обоснован.

Често точно за тези цели се използва т.нар. препетефтика. Това е похват, чрез който ние караме учениците да използват понятия без да знаят техния конкретен термин, т.е. все още не са строго дефинирани. Например в ранните класове ги караме да решават задачи от типа 2 + x = 8, но въобще не им споменаваме за понятието „корен на уравнението“. Вместо това използваме определението „неизвестно“ – то е по-близко до текущите разбирания на учениците.

Накрая трябва да отбележим, че един обект или понятие може да участва като подмножество в повече от едно понятие. В такъв случай казваме, че имаме споделени множества. За да намираме общите елементи на две понятия P1 и P2 с обеми V1 и V2 използваме конюнкция и бележим с V1∩V2. За да обединим две понятия p1 и P2 с обеми V1 и V2 в едно общо понятие P3 с обем V3 използваме дизюнкция и бележим V3 = V1UV2. Ако изкаме да открием елементите на понятие P1 с обем V1, които не участват в понятие P2 с обем V2, то използваме разлика V1\V2. Следните графики демонстрират нагледно това, като сеченията са оцветени в синьо:

За конюнкцията и дизюнкзията трябва да знаем, че притежават комутативност и асоциативност, т.е.:

• V1UV2 = V2UV1 и  V1∩V2 = V2∩V1;

• (V1UV2)UV3 = V1U(V2UV3) и (V1∩V2)∩V3 = V1∩(V2∩V3).

Редно е да дам няколко примера. Предварително обаче искам да се застраховам, че  примерните ми дефиниции не са точни.

Пример за конюнкция: „Източно православни“ (множество P1 с обем V1) наричаме християните (P2 с обем V2) от източна Европа (P3 с обем V3) => V1 = V2∩V3. Виждате, че конюнкцията се използва за дефиниции от род към вид.

Пример за дизюнкция: „Християни“ (P1 с обем V1) наричаме множеството на католиците (P2 с обем V2), протестантите (P3 с обем V3) и източно православните (P4 с обем V4) => V1 = V1UV2UV3. Тук дефиницията е от вид към род.

Пример за подмножество: „Българо-мохамедани“ (P1 с обем V1) наричаме българските граждани (p2 с обем V2), които изповядват исляма => V1 V2.

Пример за разлика: „Право да работят в полицията“ (P1 с обем V1) имат тези хора (P2 с обем V2), които не са криминално проявени (P3 с обем V3) => V1 = V2\V3.

Специално внимание отбележете и на отрицанието. Всичко, което не попада в обема V1 на понятието P1, бележим с !V1:

Бъдете изключително внимателни с отрицанията – те обикновено объркват учениците. Избягвайте да работите с тях, когато това е възможно.

Обектите се разделят на прости и съставни. Почти всички обекти са съставни, т.е. изградени от други по-малки обекти. Например вие като обект сте съставен – ръце, крака, глава и тяло. Ръцете от своя страна имат вени, пръсти, кости, кожа; пръстите имат нокът и т.н. Всеки един малък обект може да получи собствено уникално име, например „нокътя на малкия пръст на лявата ръка на Филип Петров“. Кои обекти са прости зависи от формиран от нас т.нар. „базис“. Прост обект може да е атом за една клетка, клетка за един организъм, тухла за една сграда, и т.н. Чрез поставянето на базис ние избягваме описването на обектите до безкрайност.

Всеки обект си има свойства. Ние обединяваме обектите, които имат общи свойства под общи имена – куче, човек, къща, автомобил… Така казваме, че се формират „понятия“. За да имаме формирано понятие, то чрез името на понятието трябва да може да се характеризират два или повече обекта. В този смисъл вие не сте понятие, а сте обект, защото сте уникален, но попадате вътре множеството на понятието „човек“. Приемете го по следния начин – ако можете да дадете уникално име, то имаме обект; ако не можем, то имаме понятие.

Понякога имената на обектите съвпадат с тези на понятията в които попадат. Например когато кажете „дърво“ – това е понятие, защото под тази дума попадат огромно множество дървета по света. Когато посочите конкретен обект и кажете „дърво“, то вече ще разберем, че говорите не за кое да е дърво, а за точно определено такова. Едва ли има смисъл да даваме уникално име на всеки един обект в света попадащ в понятието „дърво“.

Едно понятие също може да се формира чрез обединяване на други понятия. Например ако имаме понятията „врата“, „прозорец“ и „тухла“, чрез тях можем да формираме понятието „къща“. Ами нали къщата е буквално изградена от тях? Значи ги включва и понятието е съставно от други понятия.

Видяхме, че когато едно понятие се конкретизира то става обект. Например „врата“ е нещо общо и затова е понятие, но когато кажем „вратата на банята у вас“, то вие ще се досетите за кой конкретен обект става дума. Ето защо, за да конкретизираме дадено понятие в обект, то ние трябва да го посочим директно и/или да използваме допълнително уточнение.

В обучението ние правим именно това – разглеждаме свойствата на обекти, обединяваме обекти с общи свойства в понятия и обратно – по дадени понятия се опитваме да конкретизираме обекти. Най-важното нещо обаче при всички случаи е да умеем да дефинираме обектите и понятията, с които работим. С други думи трябва да можем да обясним какво представляват.

Най-лесно се дефинират обектите и понятията които можем да усетим със сетивата си – да ги видим, пипнем, помиришем или чуем. Представете си, че трябва да обясните какво означава „мотика“ на човек, който не знае. Най-лесно ще бъде ако вземем конкретен обект мотика и да му я покажем. Много по-трудно ще ни бъде да обясним понятието чрез свойствата на обекта, без той да бъде наличен. Същото се отнася за абстрактни обекти – много по-лесно е да нарисуваме триъгълник, отколкото да го обясним с думи. Затова в обучението ние напоследък се стараем да се възползваме от колкото се може повече мултимедия – използваме именно визуалното възприятие за по-бързо конкретизиране на обекти.

Както вече намекнах, има както реални, така и абстрактни обекти. „Столът, на който седите в момента“, е реален обект. „Столчето под асмата на Нено чорбаджи“ от разказа на Любен Каравелов „Маминото Детенце“ е един абстрактен обект – той не съществува реално, не може да бъде видян, докоснат и помирисан. Въпреки, че не съществува реално, той е обект, а не понятие – идентифицира се уникално. Вече се досещате, че ние можем да обясняваме свойствата на абстрактни обекти чрез техните реални еквиваленти.

Накрая естествено съществуват и изцяло абстрактни понятия, които не описват реални обекти. Такива са понятията в математиката – например числата и геометричните фигури. Когато дефинираме какво представлява ромб, то говорим за „понятието ромб“. Ако решаваме задача, в която участва фигура ромб, то говорим за „обект ромб от конкретната задача“.  В обучението по-често ни се налага да работим с такива изцяло абстрактни обекти и понятия. Каквито и да са обаче, за да бъдат обяснени, при тях се използва едно „златно правило“, а именно:

Всеки един обект или понятие трябва да бъде дефиниран
чрез използването на вече познати обекти и/или понятия!

Приемете това като основен принцип на обучението. Той трябва да бъде спазван изключително стриктно! В противен случай няма логическа последователност и дефиницията става непълна. Ще дам един пример – трябва да обясните на вашето дете какво означава понятието „семейство“. Вашето дете вече трябва да познава понятията „мама“, „татко“, „кака“ и „батко“, за да може да разбере, че те са част от едно по-общо понятие, което ще приеме да нарече „семейство“.

За да бъде дефиниран един обект трябва да изброим:

1. Уникално име, което разграничава обекта от останалите;
2. Свойства, които притежава;
3. Определение -  съвкупност от думи, които обясняват и характеризират обекта.

За да бъде дефинирано едно понятие трябва да станат ясни четири елемента:

1. Обем на понятието: множество от обектите в понятието, които имат общи свойства;
2. Съдържание на понятието: съвкупността от общите свойства на обектите от обема на понятието;
3. Термин на понятието: думата, която различава понятието от другите понятия;
4. Определение на понятието: съвкупността от думи, които обясняват и характеризират понятието.

По-сложна задача е да се дефинира самото понятие „понятие“. Виждаме, че още при споменаването на задачата се получава неприятна рекурсия. Във философията се казва:

Деф. „Понятие“ е основна форма на мислене, чрез която са представени обобщено признаци и свойства на предмети и явления, наричани още обекти. Понятията формират класове от обекти, подредени в иерархична структура.

В следваща статия ще обясня релациите между обекти и понятия.