Ще дам пример как това може да стане с предисторията на любовта между Дък и Джейни. Дък отдавна бил влюбен в русата си съученичка от математическата гимназия, но все не могъл да я заговори по същество. Двамата били неразделни приятели, но само дотолкова. Момчето било изключително срамежливо, а момичето било от по-консервативните и чакала момчето да „води“.

Вече била минала първа, втора, трета среща… и все Дък нямал куража да целуне Джейни, та дори и в очевидно подходящи интимни моменти и поводи. Затова се консултирал с учителя си по математика господин Доналд, който бил известен женкар. След кратката консултация Дък уверено си уредил нова среща с Джейни на която трябвало „да пишат домашните заедно“. От дума на дума Дък попитал Джейни:

- Хайде да ми дадеш да препиша домашното ти по биология?

- А, не може така – трябва да си го заслужиш! – отговорила лукаво Джейни

- Добре тогава… Какво ще кажеш ако ти кажа едно твърдение, което е абсолютно безспорно вярно, то ти ще ми дадеш ли да препиша домашното?

- Хм, това е интересно, съгласна съм – отговорила девойката

- Обещаваш ли? – все пак настоял Дък

- Обещавам! – попаднало в капана момичето

Дък казал това, което бе подготвил предварително с учителя. След кратко размишление Джейни разбрала, че няма какво друго на направи, освен да целуне страстно Дък. И естествено, понеже е обещала, се наложило да спази обещанието си и наистина го целунала. Така връзката им започнала „по същество“.

Какво е казал Дък на Джейни?

Фирмата разполага с 90 единици ДНК и 18 единици РНК. Едно зелено теле носи 5000 лв печалба, едно розово – 3000 лв, а една кръстоска – 4000 лв.

Съставете производствен план, при който фирмата реализира максимална печалба.

* Големи благодарности за тази задача на моя колега от УНСС – ас. Асен Велчев.

1. Разговор на две цифри:

- Какво казала нулата на осмицата?
- Хубав колан!

2. Геометрична закачка:

- А какво казала окръжността на допирателната?
- Спри да ме докосваш!

3. Операциите в любовта:

Аритметиката на мъжа е: добави жена, извади дрехите, раздели краката и се моли да няма умножение!

4. Семейни отношения:

Професор по математика изпратил факс до жена си:

„Скъпа съпруго,
Трябва да осъзнаеш, че вече си на 55 години, а аз имам своите мъжки нужди. Въпреки, че съм много доволен от теб като моя жена, очевидно ти не можеш да ги заводолиш! Затова се надявам, че няма да се разсърдиш ако те уведомя, че тази вечер ще съм в Шератон с моя 18 годишна студентка. Ще се върна късно вечерта“

Когато отишъл в хотел Шератон, професорът го чакало съобщение изпратено отново по факса:

„Скъпи съпруже,
Ти също трябва да осъзнаеш, че си на 57 години, а и аз имам своите женски нужди. Естествено и аз съм напълно доволна от теб като свой съпруг, но очевидно и ти не можеш да ги задоволиш. Затова се надявам, че и ти няма да се разсърдиш ако те уведомя, че тази вечер ще съм в Хилтън с нашия 18 годишен водопроводчик. Впрочем ако направиш бърза сметка ще видиш, че 18 влиза повече пъти в 55 отколкото 57 в 18. Затова не ме чакай тази вечер!“

5. Инженери, физици и математици:

Важно е да се знае кой как овладява критични ситуации. Затова в университета беше проведено изследване как инженер, физик и математик ще реагират в екстремна ситуация. Постановката беше пожар по време на лабораторно упражнение.

Инженерът видя пушека, грабна кофата за боклук, напълни я с вода от мивката, лисна я и загаси пожара.

Физикът видя пушека, изчисли на ум скоростта на разпространение на огъня, налягането на водата и балистичната траектория на разплискване, след което грабна кофата за боклук, напълни я с точно определено количество вода от мивката и загаси пожара.

Математикът видя пушека, видя кофата, видя мивката и заяви: „Решена задача!“.

6. Силата на дедуктивната логика:

Шерлок Холмс и Доктор Уотсън отишли на къмпинг. Вечерта пили и се веселили, след което легнали да спят. Късно през нощта Холмс събудил Уотсън:

- Хей Уотсън… я погледни към небето и ми кажи какво виждаш?

- Виждам хиляди, милиони звезди! – отговорил Уотсън

- И… – продължил Холмс

- И това ми говори, че има милиони галактики с потенциално хиляди планети като нашата! Виждам, че Господ е толкова всемогъщ като е направил всичко това, а ние сме толкова незначителни и малки! Виждам невъзможния отговор на въпроса „какво е безкрайността“…

- А аз Уотсън – прекъснал го Холмс – виждам, че някакво копеле ни е откраднало палатката!

7. Математически полет със самолет:

Математик летял с 6 часов полет до Виена. Малко след излитането пилотът се обадил:

- Скъпи пасажери, искам да Ви уведомя, че един от двигателите ще бъде спрян заради техническа повреда. Не се безпокойте – няма място за паника! Ние имаме още три двигателя и сме в пълна безопасност! Единствено това ще се отрази на дължината на пътуването – то ще бъде 7 часа вместо обещаните 6.

След половин час пилотът съобщил, че още един двигател е изгорял.

- Но не се безпокойте - добавил той – ние имаме още два двигателя и сме в пълна безопасност! Единствено трябва да знаете, че пътуването се удължава на общо 9 часа вместо 6…

След още половин час пилотът съобщил с леко разтреперан глас:

- Уважаеми пасажери, изгоря нашият трети двигател. Но няма място за безпокойствие – ние имаме още един двигател в изправност. Единствено това ще се отрази на времето на пътуването – просто общото време ще бъде 13 часа, вместо обещаните 6…

Математикът с огромно раздразнение промърморил:

- Направо чудесно… С тази тенденция като изгори следващият двигател ще стигнем чак на 19тия час и ще си изпусна лекцията…

8. Студентите по математика:

Студент в началото на курса по математически анализ:

Студент по време на лекции по математически анализ, когато е чул епсилон дефиницията за сходимост на Коши:

Студент по време на упражнения по математически анализ, когато асистентът показва как се прилага дефиницията за сходимост на Коши при решаване на реална задача:

Зубър, който погрешно си мисли, че е разбрал дефиницията за сходимост на Коши, се подмазва на преподавателя:

Отчаян студент учи и упражнява дефиницията за сходимост на Коши преди изпит по „математически анализ“:

Студент току що скъсан на изпит по математически анализ, понеже му се е паднал въпроса за епсилон дефиницията за сходимост на Коши:

Реакцията на студент когато бива попитан „какво мисли за математическия анализ“, след като някак все пак е завършил курса успешно:

9. Любимият предмет на Иванчо:

- Иванчо, кой предмет ти е любим в училище?
- Мобилния телефон на учителя по математика!

10. Класът на блондинките:

Върнали стара традиция най-умните ученици били слагани в А клас, много добрите в Б и т.н. Последната буква, клас Ж бил отделен за блондинките. Всички им се подигравали, защото класната им стая изглеждала отвън като врата на тоалетна… а и знанията, които се „леели“ не били по-качествени от това, което изтича в обикновен канал. В десети клас учителят по математика решил да направи препитване. Казал им да излезе най-умната според тях ученичка и каквато оценка изкара тя – такава ще напише на целия клас! Станала зубърката Буба:

- Колко е 2 по 2? – питал учителят

- Две! – отговорила Буба

- Грешно… – хванал се за главата учителят

Всички ученички креснали в един глас:

- Дайте още един шанс, моля Ви!

Съгласил се учителят. Този път класът изпратил Муца. Въпросът бил същият, а тя отговорила:

- Три!

Учителят отново поклатил глава неодобрително. Ученичките не почакали, а казали в един глас:

- Дайте ни още един шанс, дайте още един шанс!

Учителят отново с голяма надежда се съгласил. Този път на фронта излезнала Биба. Учителят отново задал същия въпрос, а тя отговорила:

- Четири!

Учителят понечил да си отвори устата и да каже „браво“, когато класът креснал в един глас:

- Не, не – дайте ни още един шанс, дайте ни още един шанс, моля Ви!

11. Наследственост на поколенията:

- Иванчо, какво правехте днес в училище?

- Търсихме корен квадратен!

- Я да му се невиди… още по мое време го търсеха…

12. Жените, мъжете и тяхната комбинация:

Система 1:

Мъж = яде + спи + изкарва пари
Маймуна = яде + спи

=> Изваждаме двете уравнения:

Мъж – Маймуна = яде + спи + изкарва пари – яде – спи

=> Мъж – изкарва пари = Маймуна

Тоест мъж, който не изкарва пари е просто маймуна.

Система 2:

Жена = яде + спи + харчи пари
Маймуна = яде + спи

=> Жена – Маймуна = яде + спи + харчи пари – яде – спи

=> Жена – харчи пари = Маймуна

Тоест жена, която не харчи пари също е маймуна.

Сега да видим какво ще стане когато съберем един мъж и една жена:

Мъж + Жена = Маймуна + харчи пари + Маймуна + изкарва пари

Харченето на пари е обратното на изкарването им…

=> Мъж + Жена = 2. Маймуна

Тоест когато съберете един мъж и една жена – просто имате две маймуни и нищо повече…

13. Биология, физика или математика:

Биолог, физик и математик пиели кафе. В съседната къща влезнали двама души. След малко излезнали трима. Биологът казал:

- Явно тези са се размножили!

Физикът контрирал:

- А, не – просто първоначалното ни измерване не е било прецизно!

Математикът все пак ги успокоил:

- Не се притенявайте, всичко е наред – сега най-вероятно някой ще влезе в къщата и там ще останат точно нула човека.

14. Геометрична прогресия на…:

Младата учителка вдига ученичка:

- Я ми кажи, какво е това геометрическа прогресия?

- Ами това е редица, в която например всеки член е два пъти по-голям от предишния.

Учителката се замисля, унася се… но все пак се сепва:

- Де да беше така… сядай си.

15. За какво ни е тази математика?:

Професор в университет отговаря на вечния въпрос на всички ученици и студенти:

- Математиката е наука, която е много полезна за бита. Ако, да речем, към рождената си дата прибавя телефонния номер на Деканата и от резултата извадя ръста на тъща си в сантиметри, ще получа собствения си телефонен номер с точност до една десета…

16. УНСС срещу МЕИ:

На лекция по математика в УНСС професорът рисува знака за интеграл на дъската и казва:

- Това е интеграл. Някои колеги в МЕИ даже могат да го решават.

17. Цената на бирата:

В училище в часа по математика нахълтва ядосана майка. Застава срещу учителя и крещи:

- Как можахте, как можахте да причините такова нещо на семейството ми?! Не ви ли беше срам да дадете на детето задача, в която бутилка бира струва 20 стотинки?! Трета нощ мъжът ми не спи от вълнение. . .

18. Религиозното обучение и математиката:

Иванчо бил много слаб ученик и особено математиката хич не му вървяла. Изкарвал двойка след двойка. Загрижила се майка му и решила да го изпрати в католическо училище в съседния град.

Връща се Иванчо след месец, целия отслабнал, очите му като понички, а в бележника му шестица до шестица.

- Бре, Иванчо, какво е станало с теб! - не вярва на очите си майка му

- Ох, остави се! Още първия ден учителят ни по математика ни показа един гол мъж, закован с пирони на знака плюс и веднага разбрах, че тея даскали изобщо не се шегуват…

19. Финансова задача:

Урок по математика. Учителката пита:

- Деца, запишете и сметнете, колко трябва да платите общо, ако на една банка дължите 3 хиляди евро, на друга – 10 хиляди, на трета – 5 хиляди, на четвърта – 15 хиляди?

Минават няколко минути. Всички смятата, само Иванчо гледа в тавана. Учителката:

- Иванчо, отговори ти!

- Не знам, госпожо, нашето семейство в такива случаи отива да живее в друг квартал и сменяме телефонните номера…

20. Как не се подкупва математик:

Студент бил в затруднена ситуация и решил да подкупи професора. Предал работата си и в книжката си пънхал шест банкноти по 20 лева с бележка „по една банкнота на единица“.

След като контролните били проверени студентът получил книжката си обратно. С трепет я отворил, но намерил четири банкноти по 20 лева с бележка „ресто“.

21. Половината на цялото е известна:

Учителят по математика на Иванчо решил да се пошегува с целия клас:

- Ученици, който реши следната задача, ще му пиша 6-ца. Пътувам в един самолет на 1.600 м. височина, с 565км ч. В самолета има 195 пътници, 2-ма пилоти, 5 стюардеси, 2.800 кг. багаж, захарта е свършила и 7 пътници искат кафе! На колко години сьм?

Настъпва гробна тишина в стаята.

- На 44! – казва Иванчо с леко отегчен глас.

Учителят зяпнал от учудване, защото действително бил на 44 години.

- Ама как позна бе Иванчо?

- Ами много лесно! Имам брат, който е на 22 години и е полу-идиот!

22. Физик, математик и картина:

Физик и математик са на изпит. Ще закачат картина на стената.

Физикът: Ако няма пирон, ще забия един и ще закача картината. Ако има пирон, направо ще я сложа.

Математикът: Ще разгледаме 2 случая:
I сл : Ако няма пирон на стената => забивам пирон и закачам картината
II сл: Ако има пирон на стената => махам пирона и ще сведа до I сл.

23. Университетите в САЩ:

Американски университет е място където руски евреи преподават математика на китайци…

24. Междупредметни връзки:

Учителката:

- Деца, измислете изречение с рима, обединяващо биология и математика.

Иванчо:

- Като таблицата за умножение, зная всички пози за размножение!

25. Държавните служители и корупцията

Влиятелен човек иска да подари кола на чиновник, който му проверява фирмата.

- Знаете, че не мога да приема – протестира държавният служител – това е подкуп!

- Тогава ще ви я продам за двадесет лева – предлага бизнесменът

- В такъв случай ще взема две – склонява чиновникът

26. Тъжната експоненциална функция:

Започнало голямо математическо парти. ln(x) си говорила с няколко тригонометрични функции когато забелязала, че e^x седяла тъжна в ъгъла. Натуралния логаритъм решил да помогне:

ln(x): Какъв е проблемът e^x?

e^x: Аз съм много самотна.

ln(x): Хайде де… Я отиди се интегрирай с тълпата!

e^x: Ха, все едно ще има някаква разлика…

27. Очевидното доказателство:

Професор пише дълги формули на дъската. Стигайки почти до края казва:

- От тук нататък решението е очевидно…

Замисля се дълбоко, мълчаливо обхожда цялата скамейка и след две минути гробна тишина излиза от стаята.

Студентите са в шок – професорът го няма вече 10 минути. Започват да шумолят и да си говорят глупости. В един момент обаче вратата се отваря. Професорът влиза с бодра крачка и огромна усмивка на лицето:

- Да колеги, наистина решението е очевидно!

28. Простите числа:

Математик: 3 е просто число, 5 е просто число, 7 е просто число… по индукция заключаваме, че всяко нечетно число, по-голямо от 2 е просто.

Професор: 3 е просто число, 5 е просто число, 7 е просто число, а останалите ви остават за домашно.

Физик: 3 е просто число, 5 е просто число, 7 е просто число, 9 е експериментална грешка, 11 е просто число…

Инженер: 3 е просто число, 5 е просто число, 7 е просто число, 9 е просто число, 11 е просто число…

Програмист: 3 е просто число, 5 е просто число, 7 е просто число, 7 е просто число, 7 е просто число…

Продавач: 3 е просто число, 5 е просто число, 7 е просто число, 9 е… нашият екип от техническата поддръжка работи по въпроса и проблемът ще бъде оправен възможно най-скоро!

Продавач на компютърен софтуер: 3 е просто число, 5 е просто число, 7 е просто число, 9 ще бъде просто число в следващата версия…

Биолог: 3 е просто число, 5 е просто число, 7 е просто число, за 9 резултатите от изследването все още не са пристигнали…

Рекламодател: 3 е просто число, 5 е просто число, 7 е просто число, 11 е просто число… При нас всички нечетни числа са прости!

Адвокат: 3 е просто число, 5 е просто число, 7 е просто число, 9… нямате достатъчно доказателства, че не е просто число!

Счетоводител: 3 е просто число, 5 е просто число, 7 е просто число, 9 е просто число, след като премахнем 10% данъци и 5% от други облигации.

Статистик: избираме произволни числа и проверяваме: 17 е просто число, 23 е просто число, 11 е просто число…

Лингвист: 3 е нечетно просто число, 5 е нечетно просто число, 7 е нечетно просто число, 9 е …ъъъ…

Психолог: 3 е просто число, 5 е просто число, 7 е просто число, 9 е просто число, но се опитва да подтисне този факт…

29. Истински математик:

Истинския математик пише A, чете B, има в предвид C, а отговорът всъщност е D.

30. Видовете математици:

- Има три вида математици – такива, които могат да броят и такива, които не могат да броят…

31. Еволюцията на задачите по математика в САЩ:

1950:
Роб произвел стока, която е продадена за $100.. Разходите за продукцията са 4/5 от цената. Каква е печалбата?

1960:
Фермер произвел стока, която е продадена за $100.. Разходите за продукцията са 4/5 от цената. Каква е печалбата?

1970:
Фермер произвел стока, която е продадена за $100. Разходите за продукцията са $80. Каква е печалбата?

1980:
Фермер произвел стока, която е продадена за $100. Разходите за продукцията са $80, а печалбата му е $20. Подчертайте числото 20. Обсъдете с класа.

1990:
Фермер унищожил красива дъждовна гора в Южна Америка, понеже той е прекалено алчен и не му пука въобще за живота на дивите животни и запазването на климата на земята. Той прави това само и само, за да продаде стоката си за $100 и да получи печалба от $20.
Какво мислите за този начин на живот? Как мислите се чувстват птиците и катеричките, които са загубили техните домове?

2000:
Внимание ученици… ученици – внимание! Майк не скуби Джени! Внимание ученици – ще решаваме задача. УЧЕНИЦИ!

2010:
Un hachero vende una carretada de maderapara $100. El costo de la producciones es $80. Cual es el beneficio?

2020:
農民生產的一種產品，售價100為 元..生產成本是五分之四的價格。什麼是利潤？

1. Намислете едно произволно число;
2. Напишете го с думи на английски език;
3. Пребройте буквите в думите и ги запишете като ново число;
4. Повтаряйте стъпки 2. и 3. за всяко новополучено число. Рано или късно ще достигнете до поредица 4-four-4-four-4…

Ето един пример:

1. Избираме си числото 853;
2. Записваме го като „eight hundred fifty three“;
3. Преброяваме 22 букви;
4. Записваме новото число като „twenty two“;
5. Преброяваме 9 букви;
6. Записваме новото число като „nine“
7. Преброяваме 4 букви;
8. Записваме новото число като „four“;
9. Отново имаме 4 букви…

Работи винаги! За съжаление само на английски език. В българският има потенциал да работи с числото 3, но за съжаление има неприятни „зацикляния“ и при други по-големи числа.

1. 100 се използва за процентната база. 100% означава „всичко“;
2. 100 е сумата на първите 9 прости числа: 2+3+5+7+11+13+17+19+23 = 100;
3. 100 е сумата на първите 10 нечетни числа: 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 100;
4. Има четири двойки прости числа, чиято сума е 100: 3+97, 17+83, 41+59 и 47+53;
5. Сумата от кубовете на първите четири числа е 100: 1³+2³+3³+4³ = 100;
6. Числото 100 е Лейландово число, защото 2⁶+6² = 100;
7. Сумата от 8мото просто и 9тото квадратно число: 19+81 = 100;
8. Сумата от 9тото и 10тото триъгълни числа: 45+55 = 100;
9. На морското равнище водата завира при 100 градуса по Целзий;
10. Векът, една от основните градивни единици на историята, има 100 години;
11. Рекордът за най-много точки за играч в мач от НБА е 100 на Уилт Чембърлейн от 1962г;
12. 100 „hides“ е основна единица от англо-саксонската система за региониране на земята. Един „hide“ е достатъчно количество земя за живота на едно семейство, т.е. един регион е включвал 100 семейства. Това оразмеряване все още съществува в щата Делауеър в САЩ;
13. От преброяването през 1987г. само 100 фамилни имена се използват от 85% от населението на Китай. Най-често срещаното е „Ли“, което тогава се използвало от 100 милиона души;
14. 12+3-4+5+67+8+9=100;
15. 99+9:9 = 100
16. Числото 100 е точен квадрат: 10² = 100;
17. В САЩ има точно 100 сенатора – по 2ма за всеки щат;
18. Повечето валути се делят на база 100. Например 1 лев е 100 стотинки. 100 лева е най-голямата банкнота в България, а 100 долара е най-голямата банкнота в САЩ;
19. В метричната система 100 сантиметра са 1 метър;
20. 100 ярда е дължината на игрището за американски футбол;
21. Вълците изминават до 100 мили на ден;
22. Най-голямото октаново число при бензина е 100;
23. Едно от най-популярните туристически движения у нас, създадено през 1966г. се нарича „Опознай България – 100 национални туристически обекта“ и каталогизира… точно 100 туристически дестинации;
24. Откакто се води статистика, средно 0.01% от хората по света доживяват 100 години;
25. Според изследвания на учени млечния път има около 100 милиарда звезди;
26. Светлината преминава диаметъра на млечния път за около 100 хиляди години;
27. По груби изчисления на някои учени, масата на нашата галактика е 100 милиарда пъти по-голяма от масата на Слънцето;
28. Според повечето учени съседните галактики на нашата са средно 100 пъти по-големи от нея;
29. От x-ична бройна система числото 100 се превръща в десетична бройна система по формулата x². Например числото 100 в 8мична бройна система ще е 8² = 64 в десетична. За този интересен факт благодаря специално на dzver;
30. Ако f(x) е функция, която превръща числото 100 от x-ична в 10-тична бройна система, то редицата от числата f(n)-f(n-1) при n=3,4,5,6,7,8… е S: 5,7,9,11,13,15,…;
31. Числата 2, 3, 5 и… 100 са единствените в българския език, които се изписват с минимален брой букви – три;
32. Числото 100 се изписва точно с три букви и се състои от точно три цифри;
33. 100 „runs“ е знак за значителен успех на „batsman“ в крикета и се отбелязва с титлата „Century“;
34. Отбелязване на 100 точки с едно излизане на масата в снукъра се бележи със специалното наименование „century break“;
35. Минималната дистанция за „par 3″ в голфа е 100 ярда;
36. Ако номерираме буквите A=1, B=2, C=3, …, Z=26, то ако „сумираме буквите“ от фразата на Френски език „Verbe de Dieu“ (словото на Господ) ще получим 100;
37. Числото 100 е използвано 95 пъти в Библията и 5 пъти в Корана, т.е. общо 100 пъти за двете свещени книги;
38. Триъгълник със страни поредните четни числа 6, 8 и 10 е правоъгълен, т.е. за него важи Питагоровата теорема 6⁶+8² = 10², а в същото време знаем, че 10² = 100. От „Lesna Rabota“;
39. В щата Западна Вирджиния в САЩ има град, който се нарича „Сто“. Кръстен е Хинри Чърч и жена му – едни от първите заселници там, които доживели до 109 и 106 годишна възраст. От „Lesna Rabota„.

Естествено това е много малка част от възможностите, приложенията и свойствата на числото 100. Ако знаете още интересни факти за него – споделете ги…

Източник: Уикипедия и др.

Задача: Вземете стандартен кръгъл циферблат на часовник, на който са написани числата от 1 до 12, както е показано на картинката по-долу:

а) Разчупете часовника на 2 части така, че сборовете от числата във всяка една от частите да са равни;

б) Разчупете часовника на 6 части така, че сборовете от числата във всяка една от частите да са равни;

в) Разчупете часовника на 5 части така, че сборовете от числата във всяка една от частите да са равни.

Отново казвам – оригиналната задача е последното подусловие и е давана на деца от 4ти клас. Колкото и да се струва абсурдно в самото начало за обигран математик (78 не се дели на 5!) задачата все пак се оказва, че има решение. Друг е въпросът дали едно малко дете може да намира подобни нестандартни решения и дали въобще е нужно това…

Задача: На клоните на едно дърво кацнали по равен брой врабчета, а едно си летяло наоколо. След малко всичките врабчета се прегрупирали така, че единият клон останал празен, а по останалите клони отново имало равен брой врабчета и нямало нито едно летящо. Колко са клоните и колко са врабчетата?

Решение: Ако x е броят на врабчетата, а p броя на клоните, то горното условие се свежда до следното: намерете кои цели положителни числа x>0 и p>1 са такива, че x се дели без остатък на (p-1) и (x-1) се дели без остатък на p .

Както казах след поредица от неуспешни и смешни опити, все пак стигнах до следните заключения:

При нечетно число клони p имаме x=(p-1)(p-1+kp) врабчета, за всяко k=0,1,2,3,4…

При четно число клони p имаме x=p(p-2+k(p-1))+1 врабчета, за всяко k=0,1,2,3,4…

Докажете или оборете, че това са решения. Ако са решения, то докажете или оборете, че са единствените решения.

Един фермер изхарчил  A на брой златни лири, за да купи B на брой животни от три различни вида – крави, прасета и кокошки. Нека кравите струват P, прасетата Q, а кокошките R златни лири и нека фермерът е купил поне по едно животно от всеки вид. Намерете броят на закупените крави (x), прасета (y) и кокошки (z) при параметрите от дадени в следните задачи:

1. A = 100, B = 100, P = 10, Q = 3, R = 1/2;
2. A = 100, B = 100, P = 5, Q = 2, R = 1/2;
3. A = 100, B = 100, P = 4, Q = 2, R = 1/3.

Естествено броят на животните от всяка група (неизвестните x, y и z) трябва да са цели числа.

Задача за 9-те точки: Имаме квадратна матрица от 3×3 точки. Свържете всички точки с четири отсечки без да си вдигате ръката от листа.

Решение:

Задача за 16-те точки: Имаме квадратна матрица от 4×4 точки. Свържете всички точки с шест прави отсечки без да си вдигате ръката от листа.

Решение:

Задача за n-те точки: Имаме квадратна матрица от nxn точки, n>2. Свържете всички точки с 2.n-2 отсечки без да си вдигате ръката от листа.

Решение: Ще изведем алгоритъм на базата на предишните две задачи.

1 случай – нека n е нечетно число) Започваме от главния диагонал – от точка (0,0) до точка (n,n). След това прекарваме отсечка вертикално нагоре и „излизаме с една точка нагоре“, т.е. до координати (n, -1). От там под ъгъл 45 градуса по диагонал до точка (-1, n). От там до точка (n-1, n). Продължаваме по спирала от отсечки под прав ъгъл до изчерпване на всички точки.

Пример с матрица 5×5: Очакваме 2*5-2 = 8 отсечки:

Пример с матрица 7×7: Очакваме 2*7-2 = 12 отсечки:

Пример с матрица 9×9: Очакваме 2*9-2 = 16 отсечки:

Индукционна хипотеза: Алгоритъмът за построение работи за всяко нечетно n.

Доказателство: Приемаме, че алгоритъмът работи за нечетното число k. Трябва да докажем, че работи за k+2. Матрицата с k+2 точки се получава като добавим два реда и два стълба към матрицата от k точки. Нека ги сложим по такъв начин, че имаме по един ред от горе и от долу и един ред от ляво и от дясно (тоест горния ляв ъгъл на новата матрица ще е (-1,-1), а долния десен (n+1,n+1)).

Сега нека направим същото построение както за матрицата k, но в обратен ред, т.е. започваме от центъра по спиралата и стигаме до точката (0,0). Тук обаче няма да спираме в точка (0,0), а ще продължим последната отсечка до точка (-1,-1). Това продължение не е нова отсечка, тоест дотук имаме 2k-2 отсечки. От точка (-1,-1) прекарваме хоризонтална отсечка до (-1, n+1), с което преминаваме през всички нови точки от горния ред – това е една нова отсечка. От там прекарваме отсечка вертикално надолу до (n+1,n+1) с което преминаваме през всички отсечки от десния стълб на новата матрица – това е втора отсечка. От там отново хоризонтална отсечка до точка (n+1,-1) с което преминаваме през всички отсечки по долния ред на новата матрица – трета отсечка и накрая вертикално нагоре до точка (-1,0) с което преминаваме през всички точки по левия стълб на новата матрица – четвърта отсечка. Значи имаме общо 4 нови отсечки

=> Общия брой отсечки с които сме преминали през всички точки на матрица (k+2)x(k+2) е:

2*k-2+4 = 2*k+4-2 = 2*(k+2)-2

=> индукционната хипотеза е доказана за нечетно n.

Пример от доказателството на индукционната хипотеза от матрица 9×9 до матрица 11×11:

Стъпка 1: Отсечките са 2*9-2 = 16.

Стъпка 2: Отсечка минаваща през горния ред – отсечките са 17:

Стъпка 3: Отсечка минаваща по десния стълб – отсечките са 18:

Стъпка 4: Отсечка по долния ред – отсечките стават 19:

Стъпка 5: Отсечка по левия стълб – линиите са 20 – точно 11*2-2:

Очевидно е, че от така полученото решение на матрица (k+2)x(k+2) може да се продължи последната отсечка с две точки нагоре (с което отсечките не се увеличават) и от там да се направи нова обиколка от четири отсечки, с което да се покрие матрица от (k+4)x(k+4) с 2*(k+2)-2+4 = 2*(k+4)-2 отсечки. Абсолютно аналогично спиралата може да се продължава до безкрайност => индукционната хипотеза е доказана и за всяко нечетно n>2 можем да свържем матрица с nxn точки с 2*n-2 линии.

2 случай – нека n е четно число) Започваме от точка (n/2+1, n/2). Преминаваме с втора отсечка по диагонал от -45 градуса през 2 точки (ще се намираме в точка (n/2-1, n/2-2)). От там по хоризонтала надясно през три точки до точка (n/2-1, n/2+1). От там по спирала до достигането на точка (n-1, n). От там по хоризонтала до точка (-1, n), после по диагонал до точка (-1, n) и по вертикала до точка (n,n).

Пример с матрица 6×6: Очакваме 2*6-2 = 10 отсечки:

Пример с матрица 8×8: Очакваме 2*8-2 = 14 отсечки:

Индукционна хипотеза: Алгоритъмът за построение работи за всяко четно n.

Доказателство: Приемаме, че алгоритъмът работи за четното число k. Трябва да докажем, че работи за k+2. Отново както в случая на нечетна матрица добавяме по един стълб от ляво и от дясно и по един ред от горе и от долу на съществуващата матрица. Последната отсечка я продължаваме до (n, n+1), с което не увеличаваме текущия брой отсечки (14). От там с четири отсечки „обикаляме“ и пресичаме новите два реда и два стълба, с което преминаваме през всички нови точки. Така получаваме общо 2*k-2+4 = 2*(k+2)-2 точки – точно очаквания резултат.

Пример от доказателството на индукционната хипотеза от матрица 8×8 до матрица 10×10:

Стъпка 1: Отсечките са 2*8-2 = 14.

Стъпки 2, 3, 4 и 5: Отсечките са 2*10-2 = 18.

Очевидно е, че от така полученото решение на матрица (k+2)x(k+2) може да се продължи последната отсечка с една точка наголу (с което отсечките не се увеличават) и от там да се направи нова обиколка от четири отсечки, с което да се покрие матрица от (k+4)x(k+4) с 2*(k+2)-2+4 = 2*(k+4)-2 отсечки. Абсолютно аналогично спиралата може да се продължава до безкрайност => индукционната хипотеза е доказана и за всяко четно n>2 можем да свържем матрица с nxn точки с 2*n-2 линии.

Обобщение: Всяка матрица от nxn, n>2 точки може да бъде покрита с 2*n-2 отсечки.

Задача за търсене на минимум: Намерете минималният брой отсечки, които покриват матрица nxn точки.

Решение: В процес на търсене. Хипотезата е, че минималният брой отсечки е 2*n-2.

Тази страница ще бъде обновявана когато се намери продължение в решението на задачата за минимум. Ще се търси компютърен модел за доказване на хипотезата в частни случаи. Всяка помощ от вас е добре дошла…

ред 0: 1 = 11⁰
ред 1: 11 = 11¹
ред 2: 121 = 11²
ред 3: 1331 = 11³
ред 4: 14641 = 11⁴

Естествено, че в началото се зарадвах, а съм сигурен, че и много други хора са се радвали преди мен на същото индукционно предположение, че всеки ред от триъгълника на Паскал е степен на 11. Да, но това очевидно не е така по-нататък, защото 11⁵ е 161051, а 5-ти ред на триъгълника на Паскал е 15101051, т.е. индукционната хипотеза е грешна. Но стойте – нека да не спираме дотук! Оказва се, че все пак има зависимост. Нека разгледаме числата от 5-ти ред подредени, но самостоятелни:

1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1

Ето как може да се получи числото 161051 – ако пренесем единицата от десетиците „надясно“ и я съберем с числото стоящо от ляво:

1 – (5+1) – (0+1) – 0 – 5 – 1 = 161051

Нека проверим дали това работи и по-нататък:

ред 6: 1-6-15-20-15-6-1
=> 1-(6+1)-(5+2)-(0+1)-5-6-1 = 1771561 = 11⁶

ред 7: 1-7-21-35-35-21-7-1
=> 1-(7+2)-(1+3)-(5+3)-(5+2)-1-7-1 = 19487171 = 11⁷

ред 8: 1-8-28-56-70-56-28-8-1
=> 1-(8+2)-(8+5)-(6+7)-(0+5)-(6+2)-8-8-1 = 1-10-13-13-5-8-8-8-1
=> (1+1)-(0+1)-(3+1)-3-5-8-8-8-1 = 214358881 = 11⁸

ред 9: 1-9-36-84-126-126-84-36-9-1
=> 1-(9+3)-(6+8)-(4+12)-(6+12)-(6+8)-(4+3)-6-9-1 = 1-12-14-16-18-14-7-6-9-1
=> (1+1)-(2+1)-(4+1)-(6+1)-(8+1)-4-7-6-9-1 = 2357947691 = 11⁹

Опитно на хартия продължих и по-нататък – индукционната хипотеза се потвърждава. Потърсих в интернет и видях, че не съм единственият, който се е сетил за това (колко странно :) нали?), но не успях да намеря формално доказателство.

В началото нека кажем няколко основни признаци за делимост, които се учат още в ранните класове в училище:

Признак за деление на 2: Ако числото е четно, то се дели на 2.

Признак за деление на 3: Ако сборът от цифрите на числото се дели на 3, то числото също се дели на три.

Признак за деление на 5: Ако числото завършва на цифрата 5 или на 0, то числото се дели на 5.

Сега ще изведем едно по-общо правило. Както знаем всяко число N може да се представи чрез две други цели положителни числа a и b по следния начин:

N = 10.a + b (*)

Твърдение 1. Нека x е най-малкото естествено число такова, че x.P = 10.y + 1, тоест произведението x.P завършва на цифрата 1. Числото N от (*) се дели без остатък на P тогава и само тогава когато (a – y.b) се дели без остатък на P.

Доказателство: Умножаваме двете страни на равенство (*) по числото (-y), с което равенството не се променя:

-y.N = -10.y.a – y.b

Прибавяме от двете страни на равенството числото (10.y + 1).a, с което равенството не се променя:

(10.y + 1).a – y.N = (10.y + 1).a – 10.y.a – y.b

=> (10.y + 1).a – y.N = 10.y.a + a – 10.y.a – y.b

Заместваме (10.y + 1) с x.P:

x.a.P – y.N = a – y.b

Необходимост: Нека N се дели на P, т.е. съществува число r такова, че N = r.P

=> x.a.P – y.r.P = a – y.b

=> P(x.a – y.r) = a – y.b

=> a – y.b се дели на P

Достатъчност: Нека a – y.b се дели на P, т.е. съществува число q такова, че a – y.b = q.P

=> y.N = x.a.P – q.P

=> y.N = P(x.a – q)

=> N се дели на P.

Твърдение 2. Нека x е най-малкото естествено число такова, че x.P = 10.y + 9, тоест x.P завършва на цифрата 9. Числото N от (*) се дели на P тогава и само тогава когато числото (a + (y+1).b) се дели на P.

Доказателство: Оставям го на читателите.

Алгоритъм за намиране на признак за делимост: Нека имаме число N и искаме да проверим дали то се дели на P. Започваме да умножаваме числото P с естествените числа 1, 2, 3, 4 … и т.н. докато намерим най-малкото число x такова, че числото x.P = 10.y + 1 или x.P = 10.y + 9.

1. Ако x.P завършва на цифрата 1, то проверяваме дали a – y.b се дели на P. Ако да, то и числото N се дели на P.

Например: Нека P = 37. Търсим числото x:

• 1.37 = 37 – не завършва нито на 1, нито на 9;
• 2.37 = 74 – не;
• 3.37 = 111 – да, завършва на 1 => x = 3.

=> x.P = 3.37 = 111 = 11.10 + 1

=> y = 11.

Искаме да проверим дали числото N = 11877 се дели на 37. Преобразуваме N = 10.1187 + 7

=> a = 1187 и b = 7

=> Проверяваме дали a – y.b = 1187 – 7.11 = 1110 се дели на 37. За това число можем да приложим същите твърдения:

=> Проверяваме дали 111 – 0.37 = 111 се дели на 37. За това число можем да приложим същите твърдения:

=> Проверяваме дали 11 – 1.11 = 0 се дели на 37 – да, дели се на 37 без остатък. Следователно и числото N = 11877 също се дели на 37!

2. Ако числото x.P завършва на цифрата 9, то проверяваме дали a + (y+1).b се дели на P. Ако да, то и числото N се дели на P.

Например: Нека P = 29. Търсим числото x:

• 1.29 = 29 – да, завършва на 9 => x = 1.

=> x.P = 1.29 = 29 = 10.2 + 9

=> y = 2

Искаме да проверим дали числото N = 19082 се дели на 29. Преобразуваме N = 10.19082 + 2

=> a = 19082 и b = 2

=> Проверяваме дали a + (y+1).b = 1908 + 3.2 = 1914 се дели на 29. За това число можем да приложим същите твърдения:

=> Проверяваме дали 191 + 3.4 = 203 се дели на 29. За това число можем да приложим същите твърдения:

=> Проверяваме дали 20 + 3.3 = 29 се дели на 29. Да, 29 се дели на 29 => и числото N = 19082 също се дели на 29.

Твърдение 3. Алгоритъмът НЕ е универсален

Доказателство: Този алгоритъм не работи за четните числа, защото ако P e четно, то не съществува число x такова, че x.P  да завършва на 1 или на 9. Също така друг пример е числото 5 – не можем да намерим число x такова, че x.5 да завършва на 1 или на 9.

От казаното дотук оставаме с впечатление, че предложения алгоритъм не работи за повечето числа. Истината обаче е, че влиза в приложение почти винаги. Например ако търсим признак за деление на P, което е четно, то може да представим P = 2.Q. От там заключваме, че признакът на деление на P е числото N да се дели едновременно и на 2 и на Q. Така рекурсивно ние пак рано или късно достигаме до използване на алгоритъма представен по-горе чрез признакът на деление на Q.

Например ако търсим признак за деление на P = 116. Представяме P = 2.2.29. От тук казваме, че N трябва да се дели едновременно на 4 и на 29, като за второто ще използваме показания по-горе алгоритъм.

Друг пример – търсим признак за деление на P = 312. Представяме P = 2.2.2.39. От тук казваме, че N трябва да се дели едновременно на 8 и на 39, като за второто използваме показания по-горе алгоритъм.

Виждаме, че при четните числа се налага често да доказваме признаци за делимост на числа степени на двойката. За щастие те се извеждат изключително лесно:

Признак за делимост на 2 = 2¹: Последната цифра на числото трябва да се дели на 2.

Признак за делимост на 4 = 2²: Последните 2 цифри на числото трябва да се делят на 4.

Признак за делимост на 8 = 2³: Последните 3 цифри на числото трябва да се делят на 8.

…

Признак за делимост на P = 2ⁿ: Последните n цифри на числото трябва да се делят на P.

Чрез показания алгоритъм можете да изведете признаците на делимост на почти всяко просто число (за сега се сещам само за изключения невъзможните 2 и 5, но може би има и още), а от там да го използвате за признак на делимост и на всяко съставно число.

Задача: Изведете признаците за делимост на числата от 1 до 50.

Анкета №3

I: Има ли според Вас нещо некоректно в следните четири изречения:

1. Право на кабинет ила лице, което е художник, архитект, член на творчески съюз и научен работник.
   а) Да
   б) Не
   в) Нямам мнение
    
2. Блокът „Д“ се завършва с полагане на семестриални изпити, разработване на дипломен проект или защита на дипломна работа.
   а) Да
   б) Не
   в) Нямам мнение
    
3. В превозните средства на градския транспорт се пътува с билет и карта.
   а) Да
   б) Не
   в) Нямам мнение
    
4. Едно решение на съда е окончателно, тогава и само тогава, когато то е взето на основание на верни документи и не е обжалвано в законен срок.
   а) Да
   б) Не
   в) Нямам мнение
    

II. Прочетете текстовете 1 и 2 и посочете кой от отговорите според Вас е верен.

1. Ако служителите на фирмата Х се страхуват от началника си, то те не отсъстват от работа без уважителни причини.
   Служителите от фирмата Х не се страхуват от началника си.
   Какво може да се твърди за редовността в ходенето на работа на служителите от фирмата Х?
   а) Служителите от фирмата Х не отсъстват от работа без уважителни причини;
   б) Служителите от фирмата Х отсъстват от работа и без уважителни причини;
   в) Нищо не може да се твърди относно редовността на ходенето на работа на служителите от фирмата Х;
   г) Никой от отговорите а), б) и в) не е верен.
    
2. Ако Петър обича Мария, той и подарява цветя за рождения й ден.
   Петър подари цветя за рождения ден на Мария.
   Какво може да се каже за чувствата на Петър към Мария?
   а) Петър обича Мария;
   б) Петър не обича Мария;
   в) Нищо не може да се каже със сигурност относно чувствата на Петър към Мария;
   г) Никой от отговорите а), б) и в) не е верен.

Коментарите ще бъдат модерирани за известно време. После ще има и отговори :)

Анкета №2

Прочетете всяко от следните шест основни изречения. Преценете с кои от записаните, съответно след всяко от тях, е изразена същата мисъл:

1. Не е вярно, че ако един човек е математик, то той не е умен и не е честен
   а) Ако един човек не е математик, то той е умен или честен;
   б) Ако един човек е математик, то той е умен или честен;
   в) Ако един човек е математик, то той е умен и честен;
   г) Ако един човек не е математик, то той не е умен или не е честен;
   д) Ако един човек не е умен и честен, то той не е математик;
   е) С никое от изреченията а), б), в), г), и д) не е изразена същата мисъл;
   ж) Не мога да преценя.
    
2. Не е вярно, че ако един човек е математик или юрист, то той е умен или честен
   а) Ако един човек не е юрист или математик, то той не е умен и не е честен;
   б) Ако един човек не е юрист или математик, то той не е умен или не е честен;
   в) Ако един човек не е умен и не е честен, то той не е юрист или не е математик;
   г) Ако един човек не е умен или не е честен, то той не е юрист или не е математик;
   д) С никое от изреченията а), б), в) и г) не е изразена същата мисъл;
   е) Не мога да преценя.
    
3. Не е вярно, че ако лицето Х е получило имот от съда на основата на фалшив документ, то решението на съда не трябва да бъде отменено
   а) Ако лицето Х е получило от съда имот на основата на фалшив документ, то това решение не трябва да бъде отменено;
   б) Ако лицето Х не е получило от съда имот на основата на фалшив документ, то решението на съда не трябва да се отменя;
   в) Лицето Х е получило от съда имот на основата на фалшив документ, но решението на съда не трябва да се отменя;
   г) Лицето Х е получило от съда имот на основата на фалшив документ и решението трябва да се отмени;
   д) Ако лицето Х е получило от съда имот на основата на фалшив документ, то решението трябва да се отмени;
   е) Не мога да преценя.
    
4. Не е вярно, че всички юристи са честни
   а) Всички юристи не са честни;
   б) Има поне един юрист, който не е честен;
   в) Не всички юристи не са честни;
   г) С никое от изреченията а), б) и в) не е изразена същата мисъл;
   д) Не мога да преценя.
    
5. Не е вярно, че всички математици не са умни
   а) Всички математици са умни;
   б) Има поне един математик, който е умен;
   в) Не всички математици са умни;
   г) С никое от изреченията а), б) и в) не е изразена същата мисъл, като в изречението 5;
   д) Не мога да преценя.
    
6. Не е вярно, че ако сте богат или имате добър адвокат, то можете да заобикаляте законите
   а) Ако сте богат и имате добър адвокат, то можете да заобикаляте законите;
   б) Ако сте богат или имате добър адвокат, то можете да заобикаляте законите;
   в) Богат сте и имате пари, но не можете да заобикаляте законите;
   г) Ако не можете да заобикаляте законите, то значи, че нямате добър адвокат или не сте богат;
   д) Ако не можете да заобикаляте законите, то значи, че нямате добър адвокат и не сте богат;
   е) С никое от изреченията а), б), в), г) и д) не е изразена същата мисъл.

Коментарите ще бъдат модерирани за известно време. После ще има и отговори :)

Продължи към анкета 3

Анкета №1

Прочетете всяко от следните три основни изречения. Преценете с кои от записаните, съответно след всяко от тях, е изразена същата мисъл:

1. Не е вярно, че влакът или автобусът в неделя пристигна със закъснение
   а) Влакът в неделя не пристигна със закъснение или автобусът в неделя не пристигна със закъснение;
   б) Влакът в неделя не пристигна със закъснение, но автобусът в неделя пристигна със закъснение;
   в) Влакът в неделя не пристигна със закъснение и автобусът в неделя не пристигна със закъснение;
   г) Влакът в неделя пристигна със закъснение, но автобусът в неделя не пристигна със закъснение;
   д) С никое от изреченията a), б), в) и г) не е изразена същата мисъл.
    
2. Не е вярно, че учителят и синът му днес не са били на училище
   а) Ако учителят днес е бил на училище, то синът му днес е бил на училище;
   б) Учителят днес е бил на училище и синът му днес е бил на училище;
   в) Учителят днес е бил на училище или синът му днес е бил на училище;
   г) Ако учителят днес не е бил на училище, то и синът му днес не е бил на училище;
   д) С никое от изреченията a), б), в) и г) не е изразена същата мисъл.
    
3. Не е вярно, че ако днес е валял дъжд, то Петър си е разтворил чадъра или е облякъл шлифер
   а) Ако днес не е валял дъжд, то Петър не си е разтворил чадъра и не е облякъл шлифер;
   б) Ако днес не е валял дъжд, то Петър не си е разтворил чадъра или не е облякъл шлифер;
   в)  Ако днес е валял дъжд, то Петър не си е разтворил чадъра или не е облякъл шлифер;
   г) Днес е валял дъжд, но Петър не си е разтворил чадъра и не е облякъл шлифер;
   д) С никое от изреченията a), б), в) и г) не е изразена същата мисъл.

Продължи към анкета 2

  H1   Fly                              H2
  o    * ---->                          o  ^
 /|\     7,2km/h                       /|\ | 1,76m
  |  3,6km/h                    3,6km/h |  |
 / \ -->                           <-- / \ v
--------------------------------------------------

Въпрос №1: Какво разстояние сборно е прелетяла мухата, ако не се е задържала върху главите на хората, а само ги е докосвала с краката си и е отлитала мигновено обратно?

Въпрос №2: Какво разстояние сборно е прелетяла мухата, ако на всяко прелитане е кацала и оставала неподвижна върху главата на човека за период от 1 секунда?

Въпрос №3: Имайки в предвид условието от въпрос №2, какво разстояние сборно е прелетяла мухата, ако не е летяла праволинейно, а по графиката на функцията y = sin(x)? Приемаме, че хората са еднакво високи с височина 1 метър и 76 сантиметра, а центърът на координатната система, с мерни единици „метри“, е главата на съответния човек, в момента в който мухата отлита от нея (т.е. пиковата амплитуда на графиката на функцията е 1 метър). Освен това ако се получи така, че главата на срещуположния човек не „лежи“ на синусоидата точно в момента на прелитане на мухата (т.е. мухата е под/над главата), то мухата ще направи рязък мигновен скок нагоре или рязко мигновено падане надолу, за да кацне на желаното място.

 
. . . .

. . . .

. . . .

. . . .
 

Свържете всички точки с шест прави отсечки без да си вдигате ръката и без да повтаряте. Предполагам, че този път няма да има проблем да се справите, но на тези, които не са решавали задачата с 9-те точки, препоръчвам да потърсят решението сами преди да гледат отговорите в предишната задача.

Решенията можете да ги дадете като картинки и да ги качите на някой хостинг за картинки. Предполагам, че рисуването с ASCII код (както обичам да „рисувам“ аз) няма да излезе добре в коментарите. Коментарите ще бъдат модерирани за определено време, за да може всички желаещи да решат задачата (не, че ще са много де) да се опитат без да гледат готови решения.

За най-напредналите измислих нещо по-интересно, което признавам си просто ми хрумна и още не съм му намерил решение (ако има такова де, но има всички предпоставки да има). В задачата за 9-те точки имахме квадрат с размери 3×3. В тази задача имаме квадрат с размери 4×4. Нека числото „n“ е размерността страната на квадрата. Знаем, че при n=3 минималният брой отсечки, с които можем да свържем точките е k=4. От тази задача пък вече знаем, че при n=4 минималният брой отсечки, които свързват точките е k=6.

Новата задача е: можем ли да открием формула, която за всяко n>2 намира минималният брой отсечки k, които свързват всички точки в такъв квадрат със страна от n точки (без да си вдигаме ръката и да повтаряме)? С други думи ако знаем, че F(n) = k, то намерете F=?

П.П. За да не стават обърквания при „слагането на последната цифра в началото на числото“, то ето един пример: ако X = abcd2, то Y = 2abcd.

1. Имам две монети – една фалшива (двете и страни са ези) и една нормална (от едната страна ези, а от другата тура). Взех произволна от двете монети, хвърлих я на масата и се падна ези. Каква е вероятността като я обърна наобратно да видя отново ези?

2. Около 10% от хората са употребявали наркотици. Полицията използва полеви тест, който мери с точност от 90%. Един напълно случаен човек си върви по улицата, полицията го спира, правят му тест и резултатът е положителен. Каква е вероятността да е използвал наркотици?

3. Намерете най-малкото цяло положително число различно от нула, което се дели без остатък на 225 и се състои само от нули и единици.

4. Даваме ви един долар и ще играем на „ези-тура“. Ако се падне ези ви удвояваме парите и продължаваме да играем. Ако се падне тура – спираме дотук. Така например ако се падне три пъти ези и след това тура, то вие ще имате 1.2.2.2 = 8 долара. Какво е математическото очакване за тази игра (тоест с колко пари се очаква да завършите ако разгледате задачата чрез теория на вероятностите)?

5. Колко квадрата можете да намерите чрез линиите нарисувани по шахматна дъска (която естествено е квадратна и съставена от квадратчета)?

6. Имате везна и четири тежести. С тях трябва да можете да премерите всяка тежест от 1 до 40 грама. По колко грама тежат тежестите?

7. Бил боядисва оградата за 20 часа, а Джордж за 30. За колко часа ще я боядисат заедно?

8. Класическа: на една река стоят трима човека, една голяма маймуна и две малки маймуни. Те имат една лодка, която може да прекара максимум 2 индивида през реката. Ако по което и да е време маймуните станат повече от хората, то те ще ги изядат. Помогнете на всички да преминат реката живи.

9. Хирург трябва да оперира трима различни пациенти, но има налични само две ръкавици. Как да ги оперира така, че да не си изцапа ръката с кръв и да не пипа пациент с чужда кръв?

Ако това беше напълно вярно, то бих приел популярното наименование „двадесетична“ и нямаше да споря повече. Да, но се оказва, че хората във Франция са си усложнили нещата още повече най-вече заради наименованията. Първите 19 числа си имат свои уникални имена (нормално, защото при тях няма логика за „три-над-десет“, понеже „десет“ не е стъпка за бройната система):

0 – zéro
1 – un
2 – deux
3 – trois
4 – quatre
5 – cinq
6 – six
7 – sept
8 – huit
9 – neuf
10 – dix
11 – onze
12 – douze
13 – treize
14 – quatorze
15 – quinze
16 – seize
17 – dix-sept
18 – dix-huit
19 – dix-neuf

Първата странност – последните три числа се образуват по абсолютно подобие на десетичната бройна система, защото имаме за 17 „десет-седем“, което е аналогично на „седем-над-десет“ както е при нас. Е, вече стигнахме до важните двадесетици:

20 – vingt
21 – vingt et un
22 – vingt-deux
23 – vingt-trois
…
29 – vingt-neuf

И тук следва изненада! 30 НЕ е vingt-dix, а е:

30 – trente
31 – trente et un
32 – trente-deux
32 – trente-trois
…
39 – trente-neuf

И отново изненада – 40 трябваше да се чете „две двадесет“, но не:

40 – quarante
41 – quarante et un
42 – quarante-deux
…
49 – quarante-neuf

И защо ли вече не се изненадваме:

50 – cinquante
51 – cinquante et un
52 – cinquante-deux
…
59 – cinquante-neuf

И вече свикнахме да си броим по този начин:

60 – soixante
61 – soixante et un
62 – soixante-deux
…
69 – soixante-neuf

Е, къде е прослувутата „двадесетична бройна система“? Дотук всичко си прилича на десетичната с тази разлика, че не казват „три-десет“, „четири-десет“, „пет-десет“ и „шест-десет“ а си имат отделни думи – „трент“, „квадрант“, „синквант“ и „сикстант“ (не съм сигурен как се произнасят).

Тук обаче за вас следва нова изненада:

70 – soixante-dix
71 – soixante et onze
72 – soixante-douze
73 – soixante-treize
74 – soixante-quatorze
75 – soixante-quinze
76 – soixante-seize
77 – soixante-dix-sept
78 – soixante-dix-huit
79 – soixante-dix-neuf

Защо точно след 70 нещата се „нормализират“ не ми стана ясно, но вече виждаме типично 20тично броене. Числото soixante-dix можем да го преведем като „шест-десет и десет“. Така с наследство от сбърканото „шест-десет“, което трябваше да бъде „три-двадесет“ все пак влязохме в прав път. Да видим какво следва:

80 – quatre-vingts
81 – quatre-vingt-un
82 – quatre-vingt-deux
…
89 – quatre-vingt-neuf
90 – quatre-vingt-dix
91 – quatre-vingt-onze
…
99 – quatre-vingt-dix-neuf

Ура! Числото 80 се появи като „четири-двадесет“, точно каквото трябваше да бъде и нататък нещата продължават нормално – 99 например е „четири-двадесет и деветнадесет“. Следващите ще ги спомена накратко:

100 – cent
101 – cent un
102 – cent deux
…
120 – cent vingt
121 – cent vingt et un
121 – cent vingt-deux
…
200 – deux cents
201 – deux cent un
202 – deux cent deux
…
220 – deux cent vingt
221 – deux cent vingt et un
222 – deux cent vingt-deux
…
1,000 – mille
…
1,221 – mille deux cent vingt et un
…
2,000 – deux mille
…
10,000 – dix mille
…
100,000 – cent mille
…
1,000,000 – un million
…
2,000,000 – deux million
…
1,000,000,000 – un milliard
…
10¹² – un billion
…
10¹⁸ – un quintillion
…
10¹⁰⁰ – un gogol de
…

Е, вече мога да броя на френски. Честно казано не знам защо на френските числа са им лепнали етикет „двадесетична бройна система“ след като тя е една невероятна лингвистична каша и аз я определям дефакто като объркан микс между 20тична и 10тична бройни системи :)

Освен това кой им позволи да използват десетични числа, пък да се перчат с двадесетична бройна система? Не е ли редно да си записват числата по следната конвенция:

{0-19 в 10ична} 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J,
{20-39} 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C,…, 1J,
{40-…} 20,21,….

Така тяхното 10 ще трябва да е всъщност нашето 20, 1A пък ще бъде 30, а тяхното 20 – нашето 40. Объркахте ли се? Ето, че френската аритметика има сериозна нужда от лингвистична и цифрова промяна ако наистина искат да се фукат, че са „двадесетична нация“.

Задача: Напишете с френски думи числото 1,258,391,997.

П.П. Вижте тази интересна статия:
Следи от бройни системи в България различни от десетичната

- Ти момченце ли си или момиченце?

- Аз съм момиче! – отговорило детето с русата коса

- Ами ти? – попитал стареца другият ученик

- Аз съм момче! – отговорило детето  с кестенявата коса

Ако знаете, че поне един от учениците със сигурност лъже, то кажете кой от тях е с руса и кой с кестенява коса.