Ако може да направиш краен (или пък безкраен:-))) брой операции в същия ден и минималния неснижаем остатък е 10 лева, каква максимална сума може да изтеглиш (от всичките си сметки) след една година на падеж? След колко операции? А ако неснижаемия остатък е 1 стотинка? А ако няма такъв и операциите са безкраен брой?

¥€$

Задача 1. Злият магьосник хванал сто джуджета, наредил ги в редица, така че всяко да вижда тези пред него. На главите им сложил червени и сини шапки – на всяка глава по една шапка. След това започнал да ги пита от последното към първото с какъв на цвят шапка е. Ако джуджето познае го пуска на свобода, в противен случай го убива. Обаче джуджетата успели предварително да разберат за това нареждане и да измислят стратегия, с която да се спасят максимален брой джуджета. Каква е била стратегията и колко джуджета могат да се спасят със сигурност?

И разбира се след лесната задача, следват тежките подусловия :)

Задача 2. Колко джуджета могат да се спасят ако имаме m цвята шапки?

Задача 3. Колко джуджета могат да се спасят ако к от тях са далтонисти?

П.П. (от Филип) За последните две задачи предлагам джуджетата да са „n“ на брой и естествено трябва да имаме n≥m и n≥k. В задача 3 се предполага, че шапките са отново червени и сини. Накрая предлагам още нещо:

Задача 4. Колко джуджета могат да се спасят ако имаме m цвята шапки и k от джуджетата са далтонисти :)

Било точно 12:00 часа, когато жената се престрашила и взела първите 10 перли. Номерирала ги с числата от 1 до 10 и ги сложила в чантата си. После погледнала роба, извадила перла №1 и му я дала (той пък я сложил във вълшебната си торбичка, в която също се събирали безкраен брой перли).

Решили да си тръгнат… но ги заглождила мисълта, че може да вземат още и не им е достатъчно. Върнали се и точно в 12:30 часа тя взела още 10 перли, номерирала ги с числата от 11 до 20 и ги сложила в чантата. От нея пък извадила перла №2 и я подала на роба, който от своя страна също я прибрал.

Същото нещо се повторило отново, но този път в 12:45 часа. Тя взела нови 10 перли, номерирала ги от 21 до 30, сложила ги в чантата, а на роба дала перла №3. Следващата кражба се случила в 12:52:30 (12 часа, 52 минути и 30 секунди). Тогава взела нови десет перли, номерирала ги от 31 до 40, прибрала ги и дала перла №4 на роба. Процесът на кражбата се повторил безкрайно много пъти с безкрайно „наситняване“ на времевия интервал. Ако се чудите как може да стане това – недейте да се мъчите, било е отново магия.

Точно в 13:00 часа обаче влезнал Аладин и заварил крадците в своята перлена стая. Ядосал се страшно много и веднага им грабнал багажа. После го претърсил…

Колко перли е намерил в чантата на жената и колко перли в торбата на роба? Или кажете поне кои са били повече?

1. Отворете „calc“
2. Напишете числото 9
3. Вземете корен квадратен – ще се получи 3
4. Извадете 3 – очаквате отговор 0… но

Отговорът ще е… 1.1546388020691628168216106791278e-37 или подобно в зависимост от версията на калкулатора. Този проблем не е само с 9, а всички точни корени. Например последователността „16 -> sqrt -> – 4″ също ще даде на пръв поглед абсурден резултат.

Проблемът естествено идва от закръгляването от число с плаваща запетая до цяло число. Когато вземете корен квадратен от 9 ви се изписва 3, но „зад кулисите“ стои число с плаваща запетая, което е много близко, но не абсолютно точно равно на 3.

Интересното обаче е, че проблемът идва само и единствено при изваждане до нула. Ако например направите „9 -> sqrt -> – 2″ отговорът коректно ще излезе числото „1″.

Защо Windows Calculator не закръглява когато трябва да бъде към 0? Това „бъг“ ли е или е направено нарочно?

П.П. И още един интересен „феномен“. Копирайте „2+2*2=“ и направете „Edit > Paste“ в калкулатора. В „Standard“ режим ще върне отговор 8, а в „Scientific“ ще върне 6. Отговорът на въпроса „защо става така“ тук естествено е по-лесен :)

Дадени са n на брой съда a₁,…a_n, всеки от които побира съответно b₁,…,b_n литра вода. Първите a₁,…a_k съда са пълни с вода, а останалите a_k+1,…a_n са празни. Покажете как (ако е възможно) ще напълните точно „l“ на брой съда с точно „x“ литра вода. (l≤n и x≤max(b_i), i=1,…,n). Успех!

Задача. Дадена е матрица с размерности nxn от произволни цели числа. Каква е вероятността матрицата да е обратима?

Пояснение: Една матрица е обратима тогава и само тогава когато детерминантата й е различна от нула.

П.П. По първоначална моя оценка вероятността ще е клоняща към (или дори може би „равна на“) 1, но колко точно?

Снимката е направена на 24.09.2011г. от тук

Думите „около“ и „приблизително“ се използват когато не знаем точната стойност, но се опитваме да дадем близка до нея оценка в разумно малка околност, т.е. неточно число, което все пак върши работа. Околността е чисто субективна. Например един би приел, че „9000 войника“ е „около 10000 войника“, друг не. И естествено тя зависи изцяло от описваните обекти – едни обекти като например броя на зърната в чувал с грозде търпят по-ниска точност за оценка, а други като например намерени пари в куфар очакват по-висока. При всички положения израз като „на стадиона има някъде между 100 и 10000 привърженици“ би се приел като свръх неточен от всички, докато частта от изречението, с което започнах статията („… около 19 часа, 46 минути и 13 секунди …“) ще събуди учудване у читателя със своята прекалена прецизност.

Като оставим настрана грубата грешка в заглавието на показаната статия, според вас може ли да се употребява израз като „около 264 туристи“? В какви граници според вас е околността на точност на тази оценка?

П.П. Неприятно ми е, че се наложи да дам примера точно с БНТ – това всъщност е една от много малкото останали гледаеми телевизии в нашия ефир. Като цяло предаванията им според мен са качествени, а журналистите на ниво. Явно натрупалата се липса на адекватни редактори (в цялата страна!) си казва думата вече и там.

С каква скорост се е движила колата?

Задачата е от Иван.

1. Да гръмнете втори път директно след първия, без да местите барабана – така ще удари гнездото непосредствено до вече удареното;
2. Да завъртите барабана отново, като по този начин вторият изтрел ще бъде пак от произволна позиция.

Коя от двете тактики е по-печеливша за вас? Каква е вероятността да не „умрете“ при по-добрата тактика?

Бонус задача: Имате револвер с „n“ гнезда, който е зареден с „m“ патрона (m<n), поставени последователно един до друг. Трябва да играете руска рулетка „k“ на брой пъти (k<n-m). След всеки опит, ако уцелеете, имате право да стреляте пак от същата позиция или да завъртите барабана на нова произволна. Каква е вероятността да оцелеете при най-добрата възможна стратегия (и каква е тя)?

П.С. Прочетох буквално епични дискусии и на български и на английски език по темата в различни форуми в интернет! Ето пример от форума bgmafia.

Задача 2. Квадратна дъска е разделена с хоризонтални и вертикални линии на 81 малки квадратчета. Във всяко квадратче е поставен по един бръмбар. Във един момент всички бръмбари тръгват по диагонал и всеки един от тях преминава в ново квадратче. Докажете, че поне 9 квадратчета ще останат празни.

Задачите са взети и перифразирани от
„Сто и тринадесет красиви задачи“
на Мерзляк, Полонски и Якир

Задача 3 (от мен). Какъв е максималният брой свободни квадратчета при постановките на всяка от горните две задачи?

Именно тези теми дискутирали на симпозиум учители от средното образование и някои видни български професори. Сред тях бил и математикът проф. Брадистилов. Зародил се спор между него и учителка по руски език. Той твърдял, че е методически правилно всеки закон да е логически обоснован и изграден на строга аксиоматична база, а учителката твърдяла, че логическата обосновка не е нужна и всички правила просто трябва да се помнят наизуст, като използването им е обикновена рутина и това е по-ефективно от правенето на бавен и труден логически извод. В един момент спорът прераснал в откровено заяждане. Накрая професорът решил да се избъзика:

- Ще ви докажа, че математиката и математическата логика има приложение дори и в обучението по руски език. Например вие учите децата, че в именителен падеж на КТО отговаря ЧТО. После, когато учите творителен, вие ги учите да задават въпросите КЕМ и ЧЕМ. Ето как с помощта на математиката може да се спести усилието да се помни поне един от тези въпроси…

Проф. Брадистилов извадил тефтерче и записал следното:

КТО = ЧТО
КЕМ = x

=> x.КТО = ЧТО.КЕМ

=> x = ЧТО.КЕМ/КТО

=> x = ЧЕМ

- Ето виждате ли – продължил проф. Брадистилов – просто тройно правило и намерихме, че на КЕМ отговаря ЧЕМ. Ще кажете, че спестихме на децата помненето на някакви си три букви, но замислете се, че три букви тук, три букви там и накрая ще стане огромна библиотека…

Слисаната учителка всъщност приела този бъзик много насериозно и не разбрала, че професора се шегува. В последствие се опитала сама да приложи същия трик за родителен падеж (КОГО-ЧЕГО), но естествено не й се получило. Оказало се, че и при другите падежи не се получава. Даже отишла да се консултира с професора и го попитала „защо не работи“. Тогава той развеселен я успокоил:

- Другарке, в случая и този ваш контрапример не ми остава нищо друго, освен да се съглася с вас – наистина често ни се налага да учим наизуст…

Учителката останала горда, че „показала на професора, че тя е права“.

„Сборът и произведението на две цели числа е едно и също цяло число. Намерете двете числа“

За да я решим веднага правим системата:

| x+y = z
| x.y = z

и почти без замисляне откриваме отговорът x=2 и y=2 (откъдето z=4). Другото очевидно решение е нулевото: x=y=z=0.

Сега усложнението: има ли други целочислени решения?

Бонус задача с повишена трудност: Дайте имената на примерни реални градове от световната карта, за които може да важи задачата.

Един ден проф. Георги Брадистилов си вървя по коридора на трети етаж в първи блок на университета, когато неочаквано го пресрещна негов „съперник“ от Софийски Университет – проф. Иван Иванов (*):

- Брадистилов! Каква приятна изненада. Как сте?

- Добре, благодаря. А вас какво ви води на „вражеска територия“?

- Точно се срещнах с вашия колега Божоров и се разбрахме да обядваме заедно във ведомствения ви ресторант.

- Да, да… ведомствен, ведомствен, ама кой ще плаща сметката? – възрази Брадистилов

- Сметката ще платя аз, ако ми решите една задача! Засега няма да ви казвам нищо, за да не се наговорите с Божоров. Само ще знаете, че вашето число е… – проф. Иванов прошепна нещо кратко, което ние не успяхме да чуем.

На обяд Брадистилов, Божоров и Иванов бяха седнали на една маса и обсъждаха наболели въпроси, свързани с методиката на преподаване на теореми на Коши при студенти от втори курс в инженерните паралелки. По едно време Божоров се досети за загадката:

- Иванов, тъй като виждам, че яденето привършва се сетих, че ми казахте някакво загадъчно число, което трябвало да помня на всяка цена и да не казвам никому, а съм щял да разбера за него на обяд в присъствието на Брадистилов. За какво става дума?

- А да, замалко да забравя. Вижте, намислил съм си две цели числа „x“ и „y“, за които ви казвам, че „x“ е по-голямо от едно и по-малко от „y“. Също така знаете, че сбора им е по-малък от сто. На вас Божоров съм ви казал тяхното произведение, а на вас Брадистилов съм казал техния сбор. Можете ли да намерите „х“ и „y“ без да казвате числата си един на друг? Позволено е да коментирате чуждите числа (които вие не знаете), но не и собствените…

Двамата математици от ВМЕИ се замислиха сериозно, даже извадиха тефтерчетата си и записаваха някакви тайнствени сметки. Мина време, през което усмивката на Иванов растеше. В един момент обаче двамата решаващи надигнаха поглед и Брадистилов (подс)каза:

- Божоров, дълго мислиш – очевидно е, че не можеш да определиш еднозначно двете числа…

- Аз пък бих предположил, че твоят сбор ще потвърди моята невъзможност да ги определя… – отговори леко въпросително Божоров, очевидно търсещ потвърждение за догадката

- Така ли? В такъв случай вече можеш да намериш числата чрез твоето произведение! – победоносно заключи Брадистилов и скрито намигна на своя колега, а Божоров леко се усмихна

Усмивката от лицето на проф. Иванов се смъкна внезапно, защото разбра, че двамата събеседници си подсказват прекалено изкусно. Той почувства задаващата се загуба и тръгна да дава отбой:

- Другари, стана неловко и няма смисъл да продължавате със сметките – нека днес аз да почерпя!

Брадистилов обаче не му даде да се измъкне толкова лесно:

- Какви сметки Иване? Та ние току що решихме задачата. Числата са…

Задача за читателите на блога: Довършете последното изречение като намерите „x“ и „y“. Използвайте каквито помощни средства си поискате. Задачата (трябва да) има решение!

(*) Името е измислено – няма се в предвид никой конкретно.

П.С. Историята е „художествена“ измислица.

„И той направи излято от мед море – от единия му край до другия имаше десет лакти, – съвсем кръгло, пет лакти високо; и връв от трийсет лакти го обхващаше наоколо“

Имаме дадена окръжност с диаметър 10 и обиколка 30, а числото π е именно отношението между обиколката и диаметъра. Тоест π = 30/10 = 3.

Естествено по времето, по което е писан въпросния текст, математиката не е била на достатъчно високо ниво, че да може да изчисли с голяма точност числото π. Всъщност горният текст би могъл да бъде определен като математическо постижение!

Какво ще кажете обаче за следното съвременно „доказателство“:

x = (π+3)/2

=> 2x = π + 3

=> 2x.(π-3) = (π+3).(π-3)

=> 2πx – 6x = π² - 9

=> 9 – 6x = π² -2πx

=> 9 – 6x + x² = π² – 2πx + x²

=> (3-x)² = (π-x)²

=> 3 – x = π – x

=> π = 3!

Къде е грешката?

Използвана литература: http://www.pravoslavieto.com/bible/sz/3car.htm

Проф. Сметков, с помощта на дъщеря си (трудно пишел на клавиатурата на компютъра) решил, че трябва да се срещнат с Иван и да си припомнят „старото време“. Изпратил на Калпазански „покана за приятелство“ и му написал съобщение, в което го попитал дали може да се срещнат. Ответният отговор на Калпазански бил следния:

„Здравей Тодор, радвам се, че си се свързал с мен! Няма да повярваш, но и аз съм преподавател като теб, но в съвсем друга научна област. През лятото по време на ваканцията не съм в града, а живея на вилата си. Ела в Гинци и ми звънни на телефона от профила. Аз съм в една от първите 50 къщи в посока Петрохан“

Речено сторено – още следващата седмица проф. Сметков и жена му се качили на колата и отишли към малкото селце Гинци, което се намира по пътя за Петрохан. Когато пристигнали Тодор позвънил на Иван. Жена му Мария чула да се задават следните въпроси:

- … Аха, ще ме мъчиш със загадки значи. Добре, но аз задавам въпросите – отляво или отдясно на пътя?… Четно число ли е номера на къщата?… Вече е лесно, но да разнообразим – точен квадрат ли е?… Хм, все още не може да се изчисли. А има ли цифрата 4 в числото?…

След това без да каже нищо проф. Сметков подкарал колата и паркирал пред една къща. Почукали на вратата и там отворил непознат мъж.

- Извинете, тук ли живее Иван Калпазански? – попитал Сметков

- Хахаха, пак този лудак! – отговорил непознатият

Проф. Сметков показал видимо недоумение с физиономията си. Тогава непознатият пояснил:

- Вижте, Калпазански има ужасно лошо и глупаво чувство за хумор. Кара гостите си да му задават въпроси и в отговорите винаги ги лъже. Така те отиват и чукат по вратите на грешни къщи. Няма да го издавам обаче, че после ще ми се сърди. За да си спестите нервите направо му се обадете и му кажете, че се предавате – така ще е най-лесно.

Да, но проф. Сметков не се предава лесно! Благодарил на човека, качили се с Мария на колата и отишли директно пред вратата на къщата на Иван Калпазански…

Първите петдесет къщи в село Гинци са подредени на „зиг-заг“ една срещу друга от двете страни на пътя. От ляво са номерата от 1 до 20, а от дясно са номерата от 21 до 50 (*). Кой е номера на къщата на Иван Калпазански?

(*) Най-вероятно реалното разположение на къщите в село Гинци е друго. Това е използвано за целите на задачата.

Един ден трябваше да извърша ежеседмична доставка в тази клиника. Обикновено отивам малко преди обяд. Този път обаче закъснях и хванах обедната почивка. Всички доктори през това време отиват във ведомствения ресторант, а часове за пациенти не се записват по това време. За мое нещастие човекът от охраната също беше отишъл някъде да се разходи.

Това естествено става очевиден проблем – не само, че вече съм закъснял, а трябва да чакам още да свърши обедната почивка. А всичко на всичко трябваше да отида до един кабинет, който винаги е отворен, да оставя съответната вещ и да си тръгна. Тъй или иначе извършвам тази операция без надзор на който и да е – беше безсмислено да чакам.

В този момент си спомних, че често ми се е случвало да видя лекари, които са забравили магнитните си карти, да въвеждат четирицифрен код на допълнително устройство до вратата. Погледнах устройството и видях, че някои от цифрите на бутоните са изтъркани. И то не само някои, а точно четири от тях – 1, 4, 6 и 9. Набрах малко смелост и натиснах последователно 1469. Вратата се отвори и аз свърших работа.

Естествено подредбата на цифрите в точно този ред беше случайно попадение от първи опит. Реално всеки четири различни цифри могат да бъдат подредени по 4! = 24 възможни начина. Тоест ако „пин кода“ беше избран по случаен принцип, то след изтъркването на цифрите от бутоните нормално бих имал шанс 1/24 да уцеля правилната комбинация.

Може естествено да се направят по-качествени бутони, които не се изтъркват, но проблемът с мръсните пръсти няма как да се реши тъй или иначе. Естествено най-правилният от гледна точна на сигурността избор е този „пин код“ да се сменя периодично и то така, че да се изтъркват и зацапват равномерно всички бутони. Но в случая това не е направено поради ред причини – първо персонала е много (тоест усилията по разпространението на новите пин кодове са неприятни) и най-вече второ тези системи обикновено се поддържат от трети лица – фирми спечелили обществени поръчки… а ние знаем, че при обществените поръчки нещата не се правят „както трябва“, а „понеже и това трябва“. Обикновено фирмата инсталира системата и изчезва в небитието през финансови лабиринти, през които никой не може да я проследи.

Изправени сме пред математическа задача – трябва да използваме устройство направено от некачествена пластмаса, с некачествен печат на цифрите на бутоните и веднъж въведен четири цифрения пин код, той няма да може повече да бъде променян в бъдеще (поне до следващата обществена поръчка за нова система, след като тази се скапе и няма да има кой да я поправи). Имаме ли възможност да увеличим шансовете си и да повишим сигурността до повече от 24 възможни комбинации?

Отговорът е положителен. Вместо да избираме четири ние ще изберем само три различни цифри за формиране на четири цифрения пин код. По този начин една от цифрите ще се повтаря. „Хакерът“ обаче не знае коя. Различните четирицифрени пароли, които могат да се получат от три различни цифри се оказва, че са 3.24/2 = 36 различни пароли! Очевидно намалихме шансът от налучкване с цели 50%!

Увеличават ли се шансовете при избиране на още по-малко цифри? Отговорът е отрицателен. Ако изберем само две цифри за четири цифрения пин код, то възможностите са 2.24/6 + 24/4 = 14 възможни пин кода. Ако пък изберем само една цифра, то възможният пин код ще е само един.

Задача. Дадено е устройство с „n“ различни бутона за въвеждане на пин код, с които трябва да въвеждаме непроменима „k“ цифрена парола за достъп. Какъв е оптималният избор за брой „r“ различни символи така, че възможните комбинации от пин кодове да са най-много? Знае се, че n≥k≥r (ако k>n излизаме извън рамките на текущия проблем). Казано по-кратко: търси се r=f(n,k), за което броят възможни различни пароли да е максимален.

Задача 2. Решете задачата, като писмата този път са десет.

Задача 3. Решете задачата, като писмата са „n“ на брой